예전에 이 블로그에서 카발리에리의 원리를 다뤘던 적이 있다.
카발리에리의 원리
정적분의 개념이 투박한 형태로라도 처음 기술이 된 시점은 기원전 3세기까지 올라갑니다. 아르키메데스는 구의 부피를 원뿔과 원기둥의 조합으로 구할 수 있다는 것을 "The Method of Mechanical Theorems"에 설..
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위 글 일부에서 카발리에리의 원리를 이용해 구의 부피를 구하는 방법에 대해 다루었는데, 여기서는 다른 방법을 소개한다.
우선, 아래 그림에 나타나는 원과 삼각형의 넓이는 서로 같다. (오른쪽 삼각형은 직각삼각형이다.)
이 두 두형을 각각 밑면으로 가지는, 아래 그림과 같은 두 입체도형을 생각해 보자. (어쩌면 아래 설명을 읽지 않아도 두 입체의 부피가 같다는 것을 알 수 있을지도 모르므로 잘 살표보자.) [이제 보니 그림이 상당히 부실하다. 아래 그림에서 원에서 교차하는 두 선분은 수직으로 만나며, 바닥면에서 올라간 선분들은 모두 바닥에 수직이다. 구와 사각뿔 사이를 연결하고 있는 직선은 모두 평행이다. 두 입체의 바닥에 그려진 두 원은 한 평면 위에 있다.]
반구의 밑면에서 $h$만큼 떨어진 곳에서 바닥면과 평행으로 단면을 만들어보면 단면은 피타고라스 정리에 의해 반지름이 $\sqrt{r^2 -h^2}$인 반원이 된다. 그러면 이 원은 밑면과 넓이의 차가 $\pi h^2$이 된다.
도형의 닮음을 적당히 활용하면 아래 그림의 아래쪽에 있는 입체도형의 색칠된 부분도 그림에 표시된 것처럼 같은 넓이를 가진다는 사실을 알 수 있다. 따라서, 카발리에리의 원리에 의해 두 입체도형의 부피는 같다. 그런데, 아래 도형은 사각뿔이므로 반구의 부피는 $$\frac 1 3 \times r^2 \times 2 \pi \ r = \frac 2 3 \pi r^3$$이다.