정적분의 개념이 투박한 형태로라도 처음 기술이 된 시점은 기원전 3세기까지 올라갑니다. 아르키메데스는 구의 부피를 원뿔과 원기둥의 조합으로 구할 수 있다는 것을 "The Method of Mechanical Theorems"에 설명해 놓습니다. 그가 썼던 방법은 1635년 카발리에리가 Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Geometry, advanced in a new way by the indivisibles of the continua)에서 이론적으로 정리를 했습니다. 동양에서는 1100년 전에 중국의 수학자 조긍지/조충지 부자에 의해서 발견되었습니다. 나중에 생기는 정적분은 이 개념을 수식 자체에 포함하고 있습니다.
카발리에리의 원리는 다음과 같습니다.
카발리에리의 원리: 2차원 버전
평면의 두 영역이 두 평행선의 사이에 놓여있다고 하자. 이 두 평행선 사이를 지나는 제3의 평행선이 이 두 영역과 만나서 생기는 절단선의 길이가 항상 서로 같다면 두 영역의 넓이는 같다.
가장 단순한 경우로, 아래와 같이 평행선의 한 쪽에 밑변이 있고 다른 쪽에 꼭짓점이 있는 다음 두 삼각형은 서로 넓이가 같습니다.
카발리에리의 원리: 3차원 버전
공간의 두 영역이 두 평행면의 사이에 놓여있다고 하자. 이 두 평행면 사이를 지나는 제3의 평면이 이 두 영역과 만나서 생기는 절단면의 넓이가 항상 서로 같다면 두 영역의 부피는 같다.
이것의 예로, 다음과 같이 같은 개수의 동전을 서로 다르게 쌓아도 부피가 같아진다는 사실을 통해 이 원리를 이해할 수도 있습니다.
카발리에리의 원리의 활용
카발리에리의 원리는 위에 설명한 대로 '같다'라는 말 대신에 '$m:n$이면' ... '$m:n$이다'로 바꿔도 됩니다. 같은 경우는 특별히 $1:1$인 경우죠.
카발리에리는 극한 개념을 사용하지 않아서 저학년 학생들이 교과서에서 만나는 넓이, 부피 공식을 이해하는 데 유용하게 사용될 수 있습니다. 이제 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.
사각뿔의 부피
우선은 아래의 그림을 보면 정육면체의 부피는 같은 밑넓이과 높이를 가지는 사각뿔 부피의 3배라는 것을 알 수 있습니다.
이것을 좀 더 확장해서 아래 그림과 같이 밑면이 같고 높이가 다른 두 정사각뿔을 생각하면 양 면에 평행인 면으로 잘라낸 절단면(색칠된 부분)의 면적이 그들 각각을 포함한 직사각형에 대해 같은 비율이므로 정사각뿔의 부피는 높이와 상관없이 전체 부피의 $1/3$임을 알 수 있습니다.
이와 비슷한 과정을 통해 밑면만 다른 직사각뿔의 부피도 같은 결과가 나오고, 최종적으로 직사각뿔의 부피가 직육면체 부피의 $1/3$임을 설명할 수 있습니다.
일단 직사각뿔에서 이 증명이 되고나면 다른 뿔도 비율 비교를 통해서 전체의 $1/3$이 된다는 사실을 중학교 1학년 학생들도 몇 명이 모이면 수일 내에 증명 가능하리라고 봅니다.
구의 부피와 겉넓이
피타고라스의 정리는 중학교 3학년 과정에서 배우지만, 정리 자체만 보면 중학교 1학년도 증명할 수 있는 내용입니다. 피타고라스의 정리를 먼저 배운다면 구의 부피와 겉넓이의 공식은 중1들이 암기할 내용이 아닙니다.
아래 그림은 평행면 사이에 원기둥, 원뿔, 반구가 놓여 있는 것을 그려 놓은 것입니다. 색칠된 부분은 원기둥의 밑면, 윗면을 포함하는 평면에 평행인 평면으로 두 도형을 잘라낸 단면입니다.
그런데, 피타고라스의 정리를 이용해서 단면의 넓이를 구해 보면 양쪽 단면이 모두 $\pi(r^2 -y^2)$을 같다는 것을 확인할 수가 있습니다. 즉, 그림의 오른편에 보이는 반구의 부피는 왼쪽에서 보면 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 반구의 부피는 $\pi r^3 - \frac 1 3 \pi r^3 = \frac 2 3 \pi r^3$이라는 것을 알 수 있고, 그 결과 구의 부피는 $\frac 4 3 \pi r^3$이라는 것을 알 수 있습니다.
이제, 아래 그림과 같이 구를 잘게 조각내서 펼치기로 합시다.
조각이 많아질수록 구는 높이가 $r$인 여러 개의 뿔이 모여 만들어진 입체가 됩니다. 따라서, 구의 겉넓이를 $A$라 하면 다음과 같은 방정식을 만들 수 있죠.
$$ \frac 1 3 Ar = \frac 4 3 \pi r^3$$
이 식을 정리하면 $A = 4 \pi r^2$이 얻어집니다.