1735년 오일러는 바젤 문제라고도 하는 다음 결과를 발표해서 수학계에 유명인사가 되었습니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2} = \frac {\pi^2} 6 $$
원래 이 결과는 발표하기 한 해 전에 얻었지만, 무려 3-4년 동안 수작업으로 해를 추측할 수 있는 계산을 해야 했습니다. 결국 다음 식이 성립하리라는 것을 추측하고 계수비교법을 이용해서 문제를 해결합니다.
$$\frac {\sin x} x = \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1- \frac {x^2} {2^2 \pi^2 } \right) \left( 1- \frac {x^2}{3^2 \pi^2} \right) \cdots $$
게다가 다른 여러 경우에도 이 등식을 적용해서 해를 얻어냅니다. 자세한 것은 예전에 올렸던 다음 글을 읽어보시면 되겠습니다.
http://pkjung.tistory.com/entry/Basel-Problem
당시 무한곱에 대해 많은 반론을 만나지 않아서 그냥저냥 넘어갔지만, 오일러의 마음은 편치 않았나 봅니다. 오일러의 무한곱에 대한 반론으로 제기되는 함수 $e^x \sin x / x$를 아마 오일러도 생각했던듯 합니다. 이 함수도 오일러의 논리에 따르면 같은 무한곱이 나왔어야 하거든요. 그래서 오일러는 무한곱을 사용하지 않는 다른 해법을 찾았던듯 한데, 1741년에 거의 알려지지 않은 수학 저널에 전혀 다른 형식의 해법을 실은 논문을 발표했습니다. 여기서는 그 해법을 다루려고 합니다.
위 그림에서 점 $\mathrm O$, $\mathrm A$는 고정된 점이고 $\mathrm {BH}$와 $\mathrm {OA}$는 서로 수직입니다. 원의 반지름을 $1$이라 하고 호 $\mathrm{AB}$의 길이를 $\theta$, 선분 $\mathrm {BH}$의 길이를 $x$ 라 하면 $x = \sin \theta$라는 관계가 생깁니다. 여기서 $0 < \theta < \frac \pi 2$인 경우만 생각합니다. 그러면
$$\mathrm d x = \cos \theta \mathrm d \theta = \sqrt{1-x^2} \mathrm d \theta$$
에서 다음 두 식을 얻을 수 있습니다.
$$\mathrm d \theta = \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} \mathrm d x , \quad \quad \theta = \int \frac{ \mathrm dx} {\sqrt{1-x^2}}$$
편의상 두 번째 식의 적분구간은 생략했습니다. 두 식을 변변 곱하면
$$ \theta \mathrm d \theta = \frac {\mathrm d x} {\sqrt{1-x^2}} \int \frac {\mathrm d x} {\sqrt{1-x^2}}$$
이 얻어집니다. 이제 양변을 $x=0$에서 $x=1$까지 특이적분할 건데, 그 전에 우변을 정리하고 시작하겠습니다. 일반화된 이항정리에 따르면
$$\frac 1 {\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{- \frac 1 2} = 1+ \frac 1 2 x^2 + \frac {1 \cdot 3 }{2 \cdot 4} x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^6 + \cdots $$
이고, 이 급수는 $|x|<1$에서 수렴합니다. 적분부분을 급수로 고쳐쓰면 다음과 같은 식이 얻어집니다.
$$\theta \mathrm d \theta = \frac{x \mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} + \frac 1 {2 \cdot 3} \frac{x^3 \mathrm dx} {\sqrt{1-x^2}} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5} \frac{x^5 \mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} +\cdots $$
부분적분법을 이용하면 자연수 $n$에 대해 다음 식을 얻을 수 있는데,
$$\int_0^1 \frac{x^{n+2} \mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{n+1}{n+2} \int_0^1 \frac{x^{n} \mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}$$
이 적분공식을 이용해서 먼저 구한 급수식의 양변을 $x=0$에서 $x=1$까지 특이적분하면
$$\frac {\pi^2} 8 = 1 + \frac 1 {3^2} + \frac 1 {5^2} + \frac 1 {7^2} + \frac 1 {9^2} + \cdots$$
가 얻어집니다. 바젤 문제에 나온 급수의 홀수번째 항의 합이 얻어졌으므로, 이것을 정리해서 오일러가 이전에 구한 답을 얻어내는 것은 쉬운 일입니다.