Basel Problem은 1644년 Pietro Mengoli가 처음으로 제시했던 문제로 다음 합을 닫힌형식(유한번의 계산으로 결과를 얻을 수 있는 수식의 형태 정도로 이해하면 되겠습니다.)으로 구하고, 증명을 하는 것이었습니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2} $$ 오일러는 1731년에 이 Basel Problem을 수치적인 근사를 통해 연구하고 있었습니다. 이 급수는 너무도 천천히 수렴해서 그 극한값을 수작업을 통해 알아내는 것은 너무나도 힘든 작업이었습니다. 1734년에 오일러는 드디어 다음 결과를 얻어냅니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2} = \frac {\pi^2} 6. $$ 오일러는 이 결과를 1735년에 발표합니다. 오일러가 이 문제를 발표할 당시 많은 유명한 수학자들이 이 문제에 매달려있었기 때문에 오일러는 28세의 나이에 이 문제 하나로 바로 유명세를 타게 됩니다. 다만, 그의 해법은 당시에는 완전히 입증되지 않은 방법을 사용했었기 때문에 다소 불완전한 방법이었습니다(100년 후 Weierstrass가 오일러의 무한곱이 맞다는 것을 증명하고나서야 엄밀하게 입증이 되었습니다.). 오일러는 자신의 결과가 맞는지를 확인하기 위해 부분합이 그가 얻어낸 결과값으로 수렴하는지를 수작업으로 체크했습니다. 결과값이 일치한다는 것을 확인한 오일러는 자신있게 결과를 학계에 발표했지요. 오일러는 여기에서 한 걸음 더 나아가서 위의 식을 증명할 때 사용한 등식을 이용해 다음과 같은 결과를 얻어냅니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^4} = \frac {\pi^4} {90} \hspace{6em} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} = \frac {\pi^6} {945}$$ 1744년에는 다음 식도 발표합니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^{26}} = \frac {2^{24} \times 76977927 \pi^{26}} {27!}$$ 사실상 임의의 자연수 $n$에 대해 다음 급수의 해법을 제시했습니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^{2n}} $$ 이후 오일러는 다음과 같은 급수의 합을 구하려고 합니다만... $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^3} $$ 실패합니다. 물론, 수렴한다는 것을 몰랐다는 것은 아니고요, 이 합을 앞서서 구한 것과 같이 알려진 단순한 상수들의 결합으로 나타낼 수 있는지를 알아내지 못했다는 것이지요. 이 문제는 아직도 미해결 상태입니다. 개인적으로는 짝수의 경우에 예쁜 꼴로 정리된다는 것이 더 신기하기만 합니다. 여기서는 오일러가 초기에 얻어낸 세 급수의 값을 구해보겠습니다. sine 함수의 테일러 전개는 다음과 같습니다. $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$ 그런데, 좌변의 식은 $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \cdots$에서 0이 되므로 적당한 상수 $k$에 대해 $$ \sin x = kx \left( 1- \frac x \pi \right) \left( 1+ \frac x \pi \right) \left( 1- \frac x {2 \pi} \right) \left( 1+ \frac x {2 \pi} \right) \cdots $$ 라고도 할 수 있습니다.(이것은 Weierstrass Factorization Theorem에 의해 보증이 됩니다.) 이제, 위 두 식을 조합하면 \begin{align*} \frac{ \sin x} {x} &= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}+\cdots \\ &= k \left( 1- \frac x \pi \right) \left( 1+ \frac x \pi \right) \left( 1- \frac x {2 \pi} \right) \left( 1+ \frac x {2 \pi} \right) \cdots \end{align*} 입니다. 상수항을 비교하면 $k=1$임을 얻을 수 있네요. 이 조건을 적용하고 아래 식을 일부 전개하여 위 식을 다시 쓰면 \begin{align*} \frac{ \sin x} {x} &= 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!}+\cdots \\ &= \left( 1- \frac {x^2} {\pi^2} \right) \left( 1- \frac {x^2} {2^2 \pi^2} \right) \left( 1 - \frac {x^2} {3^2 \pi^2} \right) \cdots \end{align*} 이제, 양변의 이차항의 계수를 비교하면 $$ - \frac{1}{3!} = - \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2 \pi^2 } $$ 이고, 이 식을 정리하면 $$ \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^2} = \frac{\pi^2} 6$$ 임을 얻을 수 있습니다. 이제, 4차항의 계수를 비교해 보죠. $$ \frac{1}{5!} = \sum_{1 \leqslant j \lt k} \frac{1}{j^2 k^2 \pi^4} $$ 양변에 $\pi^4$을 곱하고 곱셈공식을 활용하면 \begin{align*} \frac{\pi^4}{5!} &= \sum_{1 \leqslant j \lt k} \frac{1}{j^2 k^2 } \\ &= \frac 1 2 \left\{ \left( \frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots \right)^2 - \left( \frac 1 {1^2} \right)^2 - \left( \frac 1 {2^2} \right)^2 - \left( \frac 1 {3^2} \right)^2 \cdots \right\} \\ &= \frac 1 2 \left\{ \frac{\pi^4}{36} - \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^4} \right\} \end{align*} 이고, 이 식을 정리해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^4} = \frac {\pi^4} {90}$$ 마지막으로, 6차항의 계수를 비교하면 $$- \frac 1 {7!} = - \sum_{1 \leqslant k \lt l \lt m} \frac 1 {k^2 l^2 m^2 \pi^6}$$ 인데, 이 식의 양변에 $\pi^6$을 곱하고 정리하면 \begin{align*} \frac{\pi^6}{7!} &= \sum_{1 \leqslant k \lt l \lt m} \frac 1 {k^2 l^2 m^2} \\ &= \frac 1 6 \left\{ \left( \frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots \right)^3 - 3 \sum_{k \neq l} \frac 1 {k^2 l^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} \right\} \end{align*} 여기서, $$ \left( \frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots \right) \left( \frac 1 {1^4} + \frac 1 {2^4} + \frac 1 {3^4} + \cdots \right) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} + \sum_{k \neq l} \frac 1 {k^2 l^4} $$ 이므로 먼저 구한 계산결과들을 조합해서 식을 다시 정리하면 \begin{align*} \frac{ 6 \pi^6} {7!} &= \frac{\pi^6}{6^3} - 3 \left( \frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots \right) \left( \frac 1 {1^4} + \frac 1 {2^4} + \frac 1 {3^4} + \cdots \right) + 2 \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} \\ &= \frac{\pi^6}{6^3} - 3 \times \frac{\pi^2} 6 \times \frac{\pi^4} {90} + 2 \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} \end{align*} 이 얻어집니다. 이제, 이 식을 정리하면 다음과 같은 식이 나옵니다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^6} = \frac {\pi^6} {945}$$
추가 노트
- Basel은 오일러가 태어난 스위스의 마을이름입니다.
- 위에서 $\sin x=0$의 해가 $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \cdots$라는 것은 복소수 범위에서 다룬 것입니다.
- 위 풀이의 4차, 6차항을 이용한 부분은 오일러가 했을 것이라 추정되는 풀이이며, 실제는 조금 다를 수 있습니다.