미분방정식은 미적분의 발견과 함께 시작이 되었다고 볼 수 있습니다. 1686년 뉴튼이 발표한 프린키피아에는 미적분학에 관련된 많은 결과가 있었지만 뉴튼은 이 결과를 미적분을 이용하지 않고 유도해냈습니다. 하지만, 이미 미분방정식을 풀기 시작했을 것으로 보입니다. 뉴튼의 성격상 미분방정식의 일부 영역이라도 완전한 해법을 만들지 않으면 발표를 꺼렸을 것이기 때문에 미분방정식에 대한 책을 발표하는데는 오랜 시간이 걸렸습니다.
미분방정식의 해법을 다룬 첫 번째의 책은 1671년 뉴튼의 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum입니다.
위 사진은 영어 번역본의 표지입니다. 이 책에서 뉴튼은 다음 미분방정식의 해법을 다룹니다.
$$\frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = f(x)$$
$$\frac {\mathrm d y} {\mathrm d x} = f(x,y)$$
$$x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y} {\partial x_2 } = y$$
하지만, 이 책에 실린 내용은 현재 우리가 사용하는 미분방정식의 해법이 아닙니다. 이 책의 해법은 무한급수를 사용해서 너무나도 많은 계산을 요구하며, 이해하기도 쉽지 않습니다. 수학사에서 이것을 미분방정식 풀이의 시작으로 보지 않는 분들도 많이 있습니다.
실제 미분방정식이라는 용어는 라이프니츠가 라틴어로 "aequatio differentialis"라고 하는 데서 사용이 시작되었습니다. 라이프니츠는 $\mathrm d x$, $\mathrm d y$, $\mathrm d x / \mathrm dy$라는 기호도 소개했으며 적분법을 통해 미분방정식을 풀었습니다.
야곱(1654-1705), 요한(1667-1748) 베르누이 형제는 뉴튼의 결과를 버리고 라이프니츠의 적분법을 확장하는데 많은 기여를 했습니다. 그들은 사적으로 뉴튼 이론을 싫어했는데, 심지어 라이프니츠의 적분법을 동원해서 프린키피아가 틀렸다는 것을 증명하려고도 했습니다. 그들이 특히 받아들이기 힘들어했던 뉴튼의 결과는 행성 궤도가 타원형이라는 것이었습니다. 결과는... 여러분들도 알듯히 뉴튼 승이죠.
최초의 미분방정식 책은 이탈리아 수학자 Gabriele Manfredi의 On the Construction of First-degree Differential Equations(1701? 1704?)라는 설이 있습니다. 라이프니츠와 베르누이 형제의 결과를 집대성한 것입니다. 이후 라이프니츠와 베르누이 형제의 기법은 오일러, 라르랑지, 라플라스의 저서에도 채택되어 오늘에 이릅니다.
미분방정식을 배우다 처음으로 방정식에 뜬금없는 짓을 하는 것을 보게 되는 것이 아마도 Integrating Factor일 것입니다. 잘 보면 왜 그런 함수를 곱하는지 어렵지않게 이해할 수 있는데, 이 때 사용할 Integrating Factor를 공식화시킨 분이 오일러입니다.(1739년)
1600년 말 - 1700년 초 사이에는 많은 과학자들이 음악, 악기, 소리 등의 분야에 관심이 많았습니다. 그들의 연구는 결실을 맺어서 1746년 d'Alembert에 의해 1차원 파동방정식이 발견됩니다. 이 미분방정식은 경계조건을 제외하면 다음과 같은 형태입니다.
$$ \frac {\partial^2 u} {\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u} {\partial x^2} = 0$$
(참고로, 편미분 기호인 $\partial$은 1779년 프랑스 수학자 Marquis de Condorcet가 발표를 했고, 1841년 Carl Jacobi가 사용하면서 표준기호가 되었습니다.)
이 파동방정식은 오일러에 의해 3차원으로 확장됩니다.
1750년 오일러와 라그랑지는 등시강하곡선 문제를 풀기 위해 서신을 주고받다가 Euler-Lagrange Equation을 발전시키게 됩니다. 라그랑지는 1755년 등시강하곡선이 사이클로이드라는 것을 오일러에게 알려주었고, 이 둘은 역학문제에 그들의 기법을 동원했으며, 결과적으로 Lagrangian Mechanics를 만들어냅니다.
1768년, 오일러는 미분방정식에 적용되는 최초의 수치해석의 기법인 Euler Method를 발표합니다. 이것은 후에 코시가 변형된 방식의 Euler Method의 수렴성을 증명하면서(1824) 그 가능성을 보게 됩니다. Euler Method는 영화 Hidden Figures에서 언급되기도 했죠.
