수학 문제들 중에는 상당히 쉬워 보이지만 풀어가면 풀어갈 수록 어려워지는 문제들이 많습니다. 모든 실수에 대해 $f(x+y)=f(x)+f(y)$가 성립하는 함수를 찾는 문제도 이런 문제들 중 하나입니다.
History
역사적으로 이 문제가 처음으로 기록된 책은 아래 그림에 나오는 코시의 Cours d'Analyse(1821)입니다.
이 책의 5단원을 보면 다음과 같은 내용이 나옵니다.
너무 범위가 넓어서 네 페이지만 캡처했는데, 뭔가 익숙한 식들이 많이 보일겁니다. 위 내용은 연속성을 가정하면 $f(x+y)=f(x)+f(y)$를 만족하는 함수 $f$는 $f(x) = cx$꼴이라는 것이고, 이 뒤로도 임의 또는 적당한 조건이 걸린 실수 $x$, $y$에 대해 $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(xy) = f(x)+f(y)$, $f(xy) =f(x)f(y)$가 성립하는 함수를 유도해 놓았습니다. 이 모든 결과는 위 사진의 초반에 언급되어 있듯이 연속성을 가정하고 얻어진 것입니다.
이후에 수학자들은 위 네 종류의 함수방정식을 "코시의 함수방정식"이라 부르게 됩니다. 나중에 Darboux는 한 점만 연속이 돼도 코시의 결과를 얻을 수 있음을 밝힙니다.
다시 $f(x+y)=f(x)+f(y)$로 돌아옵시다. 이 함수방정식에 연속성을 뺐을 경우도 연구가 되었는데, 결국 1905년 Georg Hamel이 벡터공간의 개념과 선택공리를 적용해서 이 함수방정식을 해결합니다. 이 해를 Hamel Functions라 합니다.
Hamel Functions
Hamel의 아이디어는 대학교 1, 2학년 정도의 수학실력이면 이해가 가능합니다.
Hamel은 실수를 유리수 위에 얹어진 벡터공간으로 보았습니다. 즉, 모든 실수 $x$는 적당히 실수 $x_1$, $x_2$, $\cdots$를 정하면 유리수 $p_1$, $p_2$, $\cdots$를 동원해서
$$x= p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots$$
와 같이 나타낼 수 있다고 하는 데서 시작합니다. 이 표현의 가능성과 유일성을 보장하기 위해서는 집합론의 선택공리와 선형대수학의 basis 개념이 각각 필요합니다.
그러면 약간의 조작을 통해서
$$f(x) = p_1 f(x_1 ) + p_2 f(x_2 ) + \cdots$$
가 된다는 것을 유도할 수 있습니다. 그러므로, 코시 방정식의 해는 함수값 $f(x_1)$, $f(x_2)$, $\cdots$만 정해주면 얼마든지 다양한 모양이 가능하다는 것으로 결론이 납니다.
예제
결론이 순식간에 나버려서 썰렁하니까 하나 예를 들어보겠습니다. Hamel basis를 착실하게 다 쓰면 식이 길어지니까 압축해서 사용하기로 하죠. 모든 실수 $x$에 대해서
$$x = \beta + r \sqrt 2$$
꼴로 나타낼 수 있는 정해진 실수 $\beta$와 유리수 $r$이 있습니다.(Hamel basis) 그러면 함수
$$f(x) = f(\beta + r \sqrt 2) = \beta - r \sqrt 2$$
는 $f(x+y)=f(x)+f(y)$를 만족하게 됩니다. (확인은 간단하므로 생략하겠습니다.)
여기서 코시의 결론을 다시 생각하면 이 함수는 불연속이라야 하고, 여기에 Darboux의 결론을 덧붙여 생각하면 한 점에서의 불연속성 입증으로 모든 점에서의 불연속성을 설명할 수 있습니다. 그래서, 이 함수의 불연속성을 $x=0$에서만 해 봅시다.
일단, 당연히 $f(0)=0$입니다. 이제, $0$으로 수렴하는 수열 $\left\{ a_n \right\}$을 다음과 같이 정의합니다.
$$\begin{eqnarray} a_1 &=& \sqrt 2 -1 \nonumber \\ a_2 &=& \sqrt 2 - 1.4 \nonumber \\ a_3 &=& \sqrt 2 - 1.41 \nonumber \\ a_4 &=& \sqrt 2 - 1.414 \nonumber \\ & \vdots & \end{eqnarray}$$그러면 수열 $\left\{ f(a_n ) \right\}$은 다음과 같게 되죠.
$$\begin{eqnarray} f(a_1) &=& -\sqrt 2 -1 \nonumber \\ f(a_2) &=& -\sqrt 2 - 1.4 \nonumber \\ f(a_3) &=& -\sqrt 2 - 1.41 \nonumber \\ f(a_4) &=& -\sqrt 2 - 1.414 \nonumber \\ & \vdots & \end{eqnarray}$$즉, $\lim_{n \to \infty} f(a_n ) = - 2 \sqrt 2 $가 됩니다. 그래서 $f$는 모든 $x$에서 불연속인 함수입니다.