1686년 뉴튼이 프린키피아를 출판한 것은 수학적으로나 물리학적으로 중요한 사건이었습니다. 그 책에서 뉴튼은 우주 전체를 제어하는 중력을 발표했고, 자신이 제시한 운동법칙과 중력을 사용해 케플러 법칙을 모두 증명해냅니다. 이것으로 그는 역사상 최초로 두 물체가 중력의 영향에서 어떻게 움직여야 하는지를 해결한 사람이 되었습니다.
이 결과를 보고 수학 좀 한다는 분들은 중력의 영향에서 세 물체의 운동이 어떻게 되는지를 설명하려고 달려들었습니다. 태양, 지구, 달의 운동을 식 하나에 집어넣고 싶었던 것이죠.
이들은 얼마 지나지 않아 이 문제가 간단한 것이 아닐거라는 생각을 하게 되었습니다. 더 큰 문제는 뉴튼의 방식으로는 어림없다는 것이었죠.
문제가 어려워져서 수학자들은 특별한 경우로 문제를 제한시켜서 몇 가지 해를 구하기 시작합니다.
말발굽 궤도
가장 간단한 것은 세 물체 중 두 물체가 나머지 하나보다 훨씬 무거운 경우입니다. 이 경우, 무거운 두 물체를 기준으로 가벼운 한 물체의 운동을 그려보면 다음과 같은 궤도가 나옵니다.
그러니까 지구 가까이서 돌거나, 태양 가까이에서 돌거나 지구/태양 사이에 고정되거나(L1), 특이한 말발굽 궤도(ABCDE)를 그리거나 하게 되는거죠. (이것은 최근에 구한 해입니다.)
주기를 가지는 궤도
행성운동을 관찰한 경험으로 세 행성이 주기운동을 할 것이라는 가정을 주고 문제를 풀게 되면 또 몇 가지 해가 나옵니다.
하지만, 이런 시도에도 뉴튼 방법의 확장으로는 1767년 오일러가 찾은 세 종류의 궤도가 전부였습니다. 하지만, 이 궤도도 세 물체가 매순간 한 직선상에 있게 되는, 좀처럼 보기가 힘든 궤도였습니다.
이후, 동력학에서 중요한 방법을 개발한 라그랑지가 1772년 세 행성이 한 평면에 있게 되는 해를 찾아냅니다. 이 해에서는 세 행성이 각각 타원궤도를 그리고 있으며, 매 순간 세 행성은 정삼각형을 이루고 있습니다. 이 해의 장점은 임의의 질량비에서 성립한다는 것이었습니다.
라그랑지의 해를 맨 위 말발굽 궤도가 들어있는 사진에서 보면 아래 그림과 같이 두 무거운 행성이 자리잡고 있고 나머지 한 행성이 L4나 L5에 있는 형태가 됩니다.
(음... 노란색을 지구, 파란 색을 달이라 하면 L2에 주차해두면 지구인이 우리를 볼 일은 절대 없겠군.. - 지나가던 외계인 1인)
문제에 상이 걸리다.
1887년 스웨덴 국왕이었던 오스카 2세가 60번째 생일을 기념하여 Mittag-Leffler의 조언을 받아 Three Body Problem을 푼 사람에게 상을 주기로 합니다. 상을 받기 위한 조건도 아주 구체적으로 걸어놓았습니다. 내용은 다음과 같습니다.
주어진 여러 개의 질량을 가진 물체가 서로의 중력의 영향으로 운동한다. 서로 충돌하는 것을 고려하지 않는다고 할 때, 각 물체의 위치를 시간에 대한 함수들의 평등수렴하는 급수로 나타내어라.
혹시 이 문제가 풀리지 않는다고 밝혀지면 이 문제에 중요한 기여를 한 사람이 받아가기로 했습니다. 문제가 3개에서 여러개로 바뀌어서 해결하기 어려워 보입니다만...
결론
오스카의 상은 결국 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 가져갑니다. 푸앵카레가 문제를 해결한 것은 아니었는데도 이 상을 받은 이유로 당시 심사위원이었던 바이이슈트라스는 조건을 만족하는 이 문제의 해는 없는 것 같고, 푸앵카레의 1892-1899년간의 업적이 이 문제는 물론, 수학발전에 중요한 것이기 때문이라 했습니다. 실제로, 푸앵카레는 이 문제를 직접 풀어내려 한 것이 아니라 가능한 여러 해의 특성을 분류하려 했었는데요, 이것이 이후 카오스 이론의 기초가 됩니다.
번외편
푸앵카레가 상을 받은지 얼마 지나지 않은 1912년, 핀란드 수학자 Sundman이 $t^{1/3}$에 대한 무한급수해를 찾아냅니다. 이 급수는 특별한 초기조건에서는 수렴하지 않지만, 그 초기조건이 르벡측도 0값을 가져서 특별한 것은 아닙니다. 하지만, 이 해는 수렴속도가 너무 느려서 실용성이 떨어진다고 합니다. 1930년에 밝여진 바에 따르면 천문학에 Sundman의 해를 사용하려면 최소 $10^{8000000}$개의 항이 필요하다고 하네요.
푸앵카레가 상을 받고 Sundman이 해를 찾는 와중에도 사람들은 특수해를 찾는 것을 멈추지 않았습니다. 물리학자 Cris Moore는 다음과 같은 해도 발견했습니다.
이것는 total 각운동량이 0이 되는 해입니다. 이것 말고도 여러 해를 다음 링크를 타고 가면 볼 수 있습니다.