지난 2015년 Casey Mann이 평면을 채울 수 있는 15번째 타일을 발견했다는 기사가 떠서 한 동안 테셀레이션에 대한 관심이 높아졌던 일이 있었습니다. 위키피디아에는 다음 그림이 올라왔었죠.
한편, 최근 QuantaMagazine에 이 작업이 끝났다는 기사가 올라왔습니다. 다음은 그 링크입니다.
https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/
프랑스 수학자 Michaël Rao가 그 주인공이라고 하네요. 다음 사이트에 가 보면 Rao의 논문, 학회 발표 슬라이드, 초기 코딩소스를 볼 수 있습니다.
https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi.php?lang=en
아직 심사중인가본데, 발표한지 벌써 1년이 다 되가고 있습니다. 원래 수학 논문심사가 오래 걸리기는 합니다. 논문을 보면 어려운 내용은 아닙니다. 이 논문은 컴퓨터의 도움을 받아서 해결된 것이라 프로그램상의 버그가 있을 수도 있기 때문에 심사에 주의가 필요한가 봅니다. Pittsburgh대학의 Hales는 독립적으로 코딩을 해서 Rao의 증명의 핵심부분 중 절반을 구현해내는데 성공했다고 합니다. 그는 버그가 없을 것으로 확신하고 있습니다.
Rao는 2015년 Mann의 발견에 자극을 받아서 타일링이 가능한 오각형을을 모두 찾아버리자는 목표로 논문을 작성하기 시작했습니다. 그런데, 새로운 타일이 나오지는 않고 뜻밖에 현재 알려진 5각형 빼고는 없다는 결론을 얻어내게 되었습니다.
왜 수학자들이 5각형에 이렇게 집착을 할까요? 1918년 Reinhardt라는 수학자에 의해 3, 4, 6각형으로 만들 수 있는 타일은 이미 발견이 되고 더 이상 없다는 것이 증명되었습니다. 다음은 6각형 타일입니다.
그리고, 7이상의 $n$각형 타일이 없다는 것도 증명이 가능합니다. (특수한 경우의 증명도 QuantaMagazine의 기사에 실려있습니다.) 그래서 수학자들은 아직 해결이 되지 않은 오각형의 영역에 거의 100년째 매달려온 것이죠.
이 문제가 해결이 되면서 볼록다각형으로 채워진 평면의 패턴은 주기적인 형태를 가져야 한다는 것도 덤으로 얻게 되었습니다.
앞서 알려드렸던 기사의 링크를 통해 가보면 다른 여러 타일에 대해서도 알 수 있을 겁니다.