표본분산의 몇 가지 성질

크기가 $n$인 샘플 $\{x_j \}$의 표본평균을 $\overline{x}$, 표본분산을 $s^2$라 하면 $\{ x_j \}$ 중에서 $\overline x$와 $M$이상 차이가 나는 자료는 전체 자료의 $\dfrac {s^2}{M^2}$보다 작다.

표본평균과 차이가 $M$이상인 자료의 비율을 $\beta$라 하면 그러한 자료는 정확히 $\alpha = n \beta$개가 된다. 따라서, $$\left| x_j - \overline x \right| \geq M$$ 인 자료가 $\alpha$개 있게된다. 그러면, $$(n-1) s^2 = \sum_{j=1}^n \left( x_j - \overline x \right)^2 \geq \sum_{1 \leq j \leq n ,  \left| x_j - \overline x \right| \geq M} \left( x_j - \overline x \right)^2  \geq n \beta M^2$$ 그러므로 이 식을 정리해서 $$\beta \leqslant \frac{(n-1)s^2}{nM^2} \leqslant \frac {s^2}{M^2}$$ 임을 알 수 있다.

 

크기가 각각 $n_1$, $n_2$인 두 샘플의 평균을 각각 $\overline x_1$, $\overline x_2$, 표본분산을 각각 ${s_1}^2$, ${s_2}^2$라 하면 두 샘플을 모아서 만든 샘플의 평균 $\overline x$, 표본분산 $s^2$는 각각 다음과 같다. $$\overline x = \frac {n_1 \overline x_1 + n_2 \overline x_2} {n_1 + n_2},$$ $$s^2 = \frac 1 {n-1} \left\{ \left( n_1 -1 \right) s_1^2 + \left( n_2 -1 \right) s_2^2 + \frac{n_1 n_2} n \left( \overline x_1 - \overline x_2 \right)^2 \right\}$$ 단, $n=n_1+n_2$이다.

이것은 연습문제 수준의 간단한 계산이므로 증명을 생략한다.