정역학 문제 중에 그림과 같이 테이블(아래 빗금쳐진 부분)에서 $N$개의 블록을 돌출되게 쌓는다면 최대 얼마나 멀리 쌓을 수 있는지를 구하는 문제가 있습니다. 위 그림은 한 층에 하나씩 쌓아가는 경우에 만들어질 수 있는 그림입니다. (단, 모든 블록은 크기와 모양, 재료가 같은 직육면체 모양이며, 블록을 구성하는 물질의 밀도도 상수라고 가정합니다. )
이 문제는 아래에서부터 차근차근 생각하면 어려운 문제가 되지만 사고실험을 통해 위에서부터 차근차근 내려오면 어떻게 쌓아야 하는지 알기 쉽습니다. 우선 하나의 블록을 받쳐야 한다면 그 블록의 중심부를 받쳐서 아래 그림과 같이 블록을 밑에 깔아주면 됩니다.
이제, 이렇게 뭉쳐진 블록은 두 블록의 무게중심을 생각해보면 아래 그림과 같이 두 보라색 구슬이 있는 것으로 볼 수 있으므로 그 두 구슬의 중앙지점을 받치면 구조가 무너지지 않음을 알 수 있습니다.
그렇게 받쳐서 만들어진 아래 구조물은 안정적입니다.
이제, 이 구조물의 무게중심을 알기 위해 현재까지 무게중심을 알아낸 두 보속, 즉 위 두 층과 맨 밑층의 무게중심과 그곳에 걸려있는 질량을 표시해보면 아래 그림과 같습니다.
두 곳에 걸린 질량비가 $2:1$이므로 양 끝점을 $1:2$로 내분하는 점을 받쳐주기만 하면 그 구조물은 무너지지 않습니다. 따라서, 불안하기는 해도 아래 그림은 아슬아슬하게 평형상태를 이룹니다.
이 과정을 반복하면 이 글의 첫번째에 나온 그림에서 테이블에서 삐져나온 부분이 다음과 같은 식으로 표현됨을 알 수 있습니다.
$$\frac D 2 \left( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 N \right)$$
조화급수가 나오네요. 이 조화급수는 발산하기 때문에 테이블이 버텨주기만 한다면 얼마든지 멀리 삐져나가도록 만들 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
문제 설명을 모아 좀 엉성하지만 하나의 영상으로 제작해 보았습니다. 다음 링크에서 확인하실 수 있습니다.
이 문제가 실려있는 공학책은 상당히 많은데, 처음 책에 처음 실린 것은 1850년판 J. B. Phear의 Elementary Mechanics라고 합니다. 이 문제는 이후에 변형되서 재료만 바꿔서 카드 쌓는 문제로도 나왔다가, 책 쌓는 문제로 나왔다가 했습니다.
한 층에 둘 이상을 쌓게 되면 구조를 잘 조절해서 적은 개수로 더 멀리 쌓을 수 있습니다. 관심 있으신 분들은 다음 논문을 보시기 바랍니다.
John F. Hall, Fun with stacking blocks, American Journal of Physics, Vol. 73, No. 12, December 2005