위 영상은 '부산행'이라는 영화에서 공유가 임산부와 아이를 데리고 좀비들로부터 마지막 탈출을 시도하는 장면의 일부입니다. 좀비가 된 사람들은 공유가 탄 열차를 무서운 속도로 쫓아가죠. 위 영상을 잘 보면 좀비들의 운동이 비슷한 패턴을 그린다는 사실을 알 수 있습니다. 각 좀비의 이동경로를 간단히 그려보면 다음 그림과 같습니다.
좀비들이 따라가는 이 곡선을 추적선(pursuit curve) 또는 개선(dog curve)이라고 합니다.
이 곡선을 처음 연구한 사람은 레오나르도 다빈치이고, 1732년 Pierre Bouger라는 프랑스 수학자에 의해 발전이 되었습니다.
그림을 통해 추적선을 설명해 보겠습니다. 위 그림을 보시죠.
추적선은 움직이는 점 $\mathbf V$(편의상 사냥감이라 합시다.)를 $\mathbf D$(편의상 개라 하죠)가 쫓아갈 때 $\mathbf D$의 움직임에 의해 그려지는 곡선을 말합니다. 편의상 사냥감을 쫓아가는 개의 속력은 일정한 값을 유지하도록 잡게 됩니다. 위 좀비와 비슷하게 개는 사냥감을 똑바로 보면서 달려갑니다. (혼자 사냥한다면 말이죠.) 이것을 벡터를 사용해 식으로 구현하면 다음과 같습니다. ($C$는 상수이고, 벡터는 굵은 글씨체로 표현했습니다.)
$$ \frac{\mathrm d \mathbf D}{\mathrm d t} = C \frac{ \mathbf {VD}}{| \mathbf {VD}|}$$
점 $\mathrm V$(사냥감)의 운동상태에 따라 문제가 쉬울 수도, 어려울 수도 있습니다. 다음 그림은 사냥감이 일정한 속도로 이동하는 경우에 개가 그리게 될 추적곡선(빨간 선)을 나타낸 것입니다. 파란 선은 사냥감을 쫓아가는 개의 시선을 표시하고 있습니다. 검은 선 위의 움직이는 점이 사냥감, 빨간 선 위의 움직이는 점이 개입니다.
다양한 경우에 대해 추적곡선을 잘 정리해 둔 사이트가 있습니다.
http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/poursuite/poursuite.shtml
위 페이지 아래쯤 가면 개가 흐르는 물 위를 헤엄치는 경우에 대해서도 조사가 되어 있습니다.