오일러는 페르마의 마지막 정리를 증명하지는 못했지만, 그 정리가 맞다는 것을 확신하고 있었던듯 합니다. 그는 $k>2$일 때 $x^k + y^k =z^k$을 만족하는 0아닌 정수쌍 $x$, $y$, $z$가 있지 않다는 페르마 마지막 정리를 $k=4$에 대해 증명했고, $k=3$일 때도 성립함을 거의 증명했습니다. (The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work by William Dunham, 2007) 그는 1729년
$$ x_1^3 + x_2^3 = x_3^3 + x_4^3 $$
을 만족하는 일반해가 임의의 정수 $a$, $b$에 대해 다음과 같이 표현됨을 증명했습니다.
$$
\begin{align}
x_1 &= 1-(a-3b)(a^2 +3b^2 ) , \\
x_2 &= (a+3b)(a^2 + 3b^2 )-1, \\
x_3 &= (a+3b)-(a^2 +3b^2)^2 , \\
x_4 &= (a^2 +3b^2 )^2 -(a-3b)
\end{align}
$$
그러고는 무슨 생각이었는지 1769년 다음과 같은 추측을 발표합니다.
좀 더 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
페르마 마지막 정리에 의해 $a^3 + b^3 = c^3$을 만족하는 0아닌 정수쌍이 없으므로 위 추측은 $k=3$일 때 성립합니다. 그리고, 앞서 설명한 $x_1^3 + x_2^3 =x_3^3 +x_4^3$의 해가 있다는 사실을 좀 변형하여 $x_1^3 + x_2^3 +(-x_3)^3 = x_4^3$꼴로 보면 $k=3$일 때 위 추측을 만족하는 $n$의 최솟값이 $3$이라는 사실도 알 수 있습니다. 하지만, 오일러는 $k=4$일 때 등식을 만족하는 해가 무엇인지도 발견하지 못한 상태였습니다. 이것은 200년간 증명이나 반증이 되지 않고 있다가 1966년에 Bulletin of the American Mathematical Society에 다음과 같은 논문이 실리면서 반증이 됩니다.
$0$이 아닌 정수의 $n$제곱을 여러 개 더해서 다시 $0$이 아닌 정수의 $n$제곱이 되려면 최소한 $n$개의 수를 더해야 한다.
좀 더 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
$k$가 $1$보다 큰 자연수일 때, $0$이 아닌 정수 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $b$($n>1$)가 다음 등식을 만족한다면 $n \geqslant k$이다. $$ a_1^k +a_2^k + \cdots +a_n^k = b^k$$
페르마 마지막 정리에 의해 $a^3 + b^3 = c^3$을 만족하는 0아닌 정수쌍이 없으므로 위 추측은 $k=3$일 때 성립합니다. 그리고, 앞서 설명한 $x_1^3 + x_2^3 =x_3^3 +x_4^3$의 해가 있다는 사실을 좀 변형하여 $x_1^3 + x_2^3 +(-x_3)^3 = x_4^3$꼴로 보면 $k=3$일 때 위 추측을 만족하는 $n$의 최솟값이 $3$이라는 사실도 알 수 있습니다. 하지만, 오일러는 $k=4$일 때 등식을 만족하는 해가 무엇인지도 발견하지 못한 상태였습니다. 이것은 200년간 증명이나 반증이 되지 않고 있다가 1966년에 Bulletin of the American Mathematical Society에 다음과 같은 논문이 실리면서 반증이 됩니다.
정말 짧죠? 본문에 문장이 단 두 개만 있습니다. 제가 여태까지 본 논문 중 가장 짧네요. 이 논문은 다음 링크를 타고 가시면 다운로드 받으실 수 있습니다.
http://www.ams.org/journals/bull/1966-72-06/S0002-9904-1966-11654-3/S0002-9904-1966-11654-3.pdf
위 논문의 내용을 보시면 알겠지만, 위 반증은 CDC 6600이라는 수퍼컴퓨터를 동원해서 이루어졌습니다. CDC 6600은 수퍼컴퓨터 역사상 거의 초반에 등장하는 컴퓨터이며, 사실상 최초의 수퍼컴퓨터입니다. 어쨌든, 위 예를 보면 4개의 5제곱수을 더해서 새로운 5제곱수를 만들었으므로 반례가 맞네요. 1986년에는 Noam D. Elkies는 타원곡선을 사용하여 다음 식의 해를 무한히 많이 찾는 법을 발표합니다.
$$A^4 +B^4 +C^4 = D^4$$
논문은 http://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/S0025-5718-1988-0930224-9.pdf에서 받으실 수 있습니다. 이쯤되면 오일러 지못미입니다 ㅠㅠ.
$k=7$, $k=8$일 때도 반례가 잡혀 있습니다. 이쯤 되면 별로 흥미로운 문제가 되지는 않겠네요.