다항함수의 미분을 공부하다 보면 $f$가 실수를 정의역으로 하는 이차함수인 경우에 다음 등식이 성립함을 알 수 있습니다:
$$ \text{임의의 }a,b\text{에 대해} \quad \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f' \left( \frac{a+b}2 \right)$$
더 나아가, 위 식은 $2$차 이하의 모든 다항함수 $f$에 대해 성립함을 알 수 있습니다. 여기서는 이 명제의 역에 해당하는 다음 내용을 증명하겠습니다.
정의역이 실수인 함수 $f$가 임의의 $x, y \in \mathbb R$에 대해 다음 등식을 만족하면 $f$는 이차 이하의 다항함수이다.
$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f' \left( \frac{x+y} 2 \right) $$
증명: 증명의 편의를 위해 $g(x)=f(x)-f' (0)x-f(0)$라 하겠습니다. 그러면 $g(0)=0$, $g' (0)=0$이고
\begin{align*}
\frac{g(x)-g(y)}{x-y} &= \frac{ \left( f(x)-f' (0)x-f(0) \right)- \left( f(y)-f' (0)y-f(0) \right)}{x-y} \\
&= \frac{f(x)-f(y)}{x-y}-f' (0)=f' \left( \frac{x+y} 2 \right)-f' (0) \\
&=g' \left( \frac{x+y} 2 \right)
\end{align*}
입니다. 이제 위 식에서 $y=-x$라 하면
$$ \frac{g(x)-g(-x)}{2x} =g' (0)=0$$
이므로 $g(x)=g(-x)$, 즉, $g$는 우함수가 되죠. 역시 같은 식에 $x, y$ 대신 각각 $(1+t)x, (1-t)x$를 대입하면
$$ \frac{g((1+t)x)-g((1-t)x)}{2tx}=g'(x)$$
이고 $x, y$ 대신 각각 $(1+t)x, (t-1)x$를 대입하면
$$ \frac{g((1+t)x)-g((t-1)x)}{2x}=g'(tx)$$
가 얻어집니다. 그런데 $g$가 우함수라는 사실을 알고 있으므로 $g((1-t)x)=g((t-1)x)$임을 이용해 위 두식을 조합하면
$$xg' (tx)=txg'(x)$$
가 되겠네요. 이제 이 식에 $x=1$을 대입하면
$$g' (t)=tg'(1)$$
이고 이에 따라
$$g(x)= \frac 1 2 g' (1) x^2$$
가 되겠네요. 이 식과 본래의 정의를 이용하면 다음과 같은 결론이 얻어집니다.
$$f(x)= \frac 1 2 g' (1) x^2+f' (0)x+f(0)= \frac 1 2 (f' (1)-f' (0)) x^2+f' (0)x+f(0)$$
