극한 문제 몇 가지

여기서는 로피탈의 정리를 쓰지 않고 몇 가지 극한 문제를 풀어보겠습니다. 이미 아시는 분들도 계시겠지만, 정리해 놓습니다.

로피탈의 정리를 이용하지 않고 다음 극한값을 계산하여라.

$$ \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta - \sin \theta}{\theta^2}$$

이 함수는 기함수이므로 $\theta >0$일 때만 구하면 됩니다. 기하학적인 해석에 의해, $\theta$가 충분히 작은 양수인 경우 $\tan \theta > \theta$라는 것을 얻어낼 수 있는데, 이 사실을 이용해서 다음과 같은 부등식을 만들 수 있습니다.

$$ 0< \frac{\theta - \sin \theta} {\theta^2 } < \frac{ \tan \theta - \sin \theta}{\theta^2} = \tan \theta \cdot \frac{ 1-\cos \theta}{\theta^2} = \tan \theta \cdot \frac{ 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} {\theta^2}$$

그러면, 샌드위치 정리에 의해 주어진 문제의 극한값은 0임을 알 수 있습니다.

다음 극한이 존재함을 가정하자. 로피탈의 정리를 이용하지 않고 그 극한값을 계산하여라.

$$ \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta - \sin \theta }{\theta^3}$$

주어진 식의 극한값을 $S$라 합시다. 그러면 $$\begin{align*} S &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta - \sin \theta}{\theta^3} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2 \alpha - \sin 2 \alpha}{(2 \alpha)^3} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha } {8 \alpha^3} \\ &= \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{4 \alpha^3} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{ \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{4 \alpha^3} \\ &= \frac 1 4 \lim_{\alpha \to 0} \frac{\alpha - \sin \alpha}{\alpha^3} + \lim_{\alpha \to 0} \frac{ \sin \alpha (1- \cos \alpha)} {4 \alpha^3} \\ &= \frac 1 4 S + \frac 1 8 \end{align*}$$ 따라서, $S=\frac 1 6$임을 알 수 있습니다.

로피탈의 정리를 이용하지 않고 다음 극한값을 구하여라.

$$\lim_{x \to +0} x \ln x $$

우선 $f(x) = x \ln x$라 할 때 $f'(x) = 1+ \ln x$이므로 $f$는 구간 $(0, e^{-1})$에서 감소하고, 음수의 값을 가집니다. 따라서, $x \to +0$일 때 $f(x)$는 음수값을 가지지만 증가하게 되므로 극한값은 존재할 수밖에 없습니다. 이제,

$$ \lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{x \to +0} x^2 \ln x^2 = \lim_{x \to 0} \left( 2x \cdot x \ln x \right) = 0 \cdot \lim_{x \to +0} x \ln x $$

이므로 구하는 극한값은 0임을 알 수 있습니다.