이 글의 목적은 대수학의 기본정리를 고등학교 수준에서 이해할 수 있는 방법으로 증명하는 것입니다. 대수학의 기본정리는 복소수 계수를 가지는 $n$차($n \geqslant 1$) 방정식은 적어도 하나의 복소수근을 가진다는 것인데, 이것은 다시 말하면, 중복도를 고려했을 때, 복소수 계수를 가지는 $n$차 방정식은 $n$개의 복소수근을 가진다는 것을 말하는 것과 동일합니다. 위 사진은 그림 아래에 적혀있는 8차식의 함숫값을 복소평면에 그림으로 나타낸 것인데요, 검은 점으로 표시된 부분이 $f(z)=0$을 만족하는 곳이고, 그 점 주위로 보이는 핑크색 다발의 개수는 중복도를 나타내는 것이라고 보면 되겠습니다. 그림에 의하면 중근 두 개와 중근이 아닌 근 4개가 보이는군요. 합해서 차수와 동일한 $8$개가 나옴을 알 수 있습니다. 실제로, 위 다항식을 인수분해하면
$$f(z)=(z-2)(z+1)(z^2-z+1)^2(z^2+z+2)$$
가 됨을 확인할 수 있습니다.
대수학의 기본정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있고, 정확한 증명은 수학적 지식이 다소 필요합니다. 이 글에서는 정확한 증명의 논리를 티나지 않게 망가뜨리면서(?) 고등학생들도 이해할 수 있는 수준으로 증명하려고 합니다. 기본틀은 영문 위키피디아에서 가져왔습니다. 이 증명을 위해서는 이전에 게시됐던 홀수차수 방정식에 대한 이야기가 필요합니다. 다음 링크를 타고 잠시 갔다오시면 되겠습니다.
갔다오기 싫으신 분을 위해 링크글에 증명된 내용을 적습니다.
(보조정리1) 실수를 계수로 가지는 홀수차 방정식은 반드시 하나의 실근을 가진다.
그리고, 간단한 것이라서 다음 내용은 그냥 증명없이 넘어갑니다.
(보조정리2) 복소수 계수를 가지는 이차방정식은 반드시 복소수해를 가진다.
여기서 증명하려는 내용은 사실상 다음 정리입니다. 대수학의 기본정리는 다음 정리가 증명이 되면 간단히 처리됩니다. 편의상, '방정식 $p(z)=0$의 해가 존재한다'는 말을 '$p(z)$가 근을 가진다'라고 하겠습니다.
(정리1) 실수를 계수로 가지는 1차 이상의 다항식 $p(z)$는 적어도 하나의 복소수근을 가진다.
증명: 실계수 다항식 $p(z)$의 차수를 $n$이라 하겠습니다. 그러면, $0$ 이상의 적당한 정수 $k$와 홀수 $m$에 대해 $n=2^k m$이라고 쓸 수 있습니다. 여기서의 증명은 이 정수 $k$에 대한 수학적 귀납법을 통해 이루어집니다.
$p(z)$에서 $z^n$의 계수를 $a$라 하고, 방정식 $p(z)=0$의 모든 근을 포함하는, 복소수집합 $\mathbb C$를 포함하는 집합 $F$를 생각하겠습니다. $p(z)$의 근을 $z_1, z_2 , \cdots, z_n \in F$라 하면
$$p(z)= a(z-z_1 ) (z-z_2 ) \cdots (z-z_n)$$
과 같이 쓸 수 있습니다. 가정에 의해 위 식을 전개하면 모든 항의 계수는 실수가 됩니다.
만약 $k=0$이라면 $n$은 홀수가 됩니다. 따라서, 위의 (보조정리1)에 의해 $p(z)$는 실근을 가진다는 것이 설명됩니다. 이제 $n=2^{k-1} m'$($m'$은 홀수)일 때 (정리1)이 성립한다고 가정을 하겠습니다.
실계수 다항식 $p(x)$의 차수가 $n=2^k m$($m$은 홀수)이라면
$$\begin{align}
\{ p(z) \}^{n-1} &= a^{n-1} (z-z_1)^{n-1} (z-z_2)^{n-1} \cdots (z-z_n)^{n-1} \\
& = a^{n-1} \prod_{1 \leqslant i \lt j \leqslant n} (z -z_i)(z-z_j) \\
&= a^{n-1} z^{\frac{n(n-1)} 2} \prod_{1 \leqslant i \lt j \leqslant n} \left( z-z_i -z_j + \frac{z_i z_j } z \right)
\end{align}$$
와 같이 쓸 수 있는데, 마지막 식의 곱기호 $\prod$ 이후에 물려있는 식은 $\{ p(z) \}^{n-1}$을 $ a^{n-1} z^{\frac{n(n-1)} 2}$으로 나눈 식이므로 분수식이 나오기는 하나, 모든 계수는 실수가 됩니다. 따라서, 분수식 $\frac 1 z$로 된 부분만을 실수값 $-t$로 바꿔 만든 식
$$g_t (z) = \prod_{1 \leqslant i \lt j \leqslant n} ( z-z_i -z_j -tz_i z_j ) $$
는 실수 $t$값에 상관없이 실수를 계수로 가지는 다항식이 됩니다. 그런데, $g_t (z)$의 차수가 $\frac{n(n-1)} 2 = 2^{k-1} m(n-1)$인데 $m(n-1)$이 홀수이므로 수학적 귀납법의 가정에 의해 $g_t$는 적어도 하나의 복소수근을 가집니다. 즉, 적당한 $i, j \in \{1,2, \cdots, n \}$에 대해 $z_i +z_j + tz_i z_j$는 복소수가 됩니다.
여기서 주목해야 할 것은 다항식 $g_t (z)$가 실수 $t$에 따라 변하며, 그에 따라 $z_i +z_j + tz_i z_j$가 복소수가 되는 $i,j$도 변한다는 것입니다. 하지만, $i,j$의 조합은 유한하고, $t$로 가능한 실수값은 무한하므로, 어떤 $i,j$에 대해서는 서로 다른 실수 $s$, $t$를 잡아 $z_i +z_j + sz_i z_j$와 $z_i +z_j + tz_i z_j$가 모두 복소수가 되게 할 수 있습니다. 그러면 두 복소수의 차가 복소수이므로
$$(z_i +z_j + tz_i z_j)-(z_i +z_j + sz_i z_j) = (t-s)z_i z_j \in \mathbb C$$
그런데, $t-s \neq 0$이므로 $z_i z_j \in \mathbb C$가 됩니다. 또한,
$$ z_i +z_j = (z_i +z_j +tz_i z_j ) - t z_i z_j \in \mathbb C$$
임도 얻어낼 수 있습니다. 그런데, $z_i$와 $z_j$는 복소수 계수 이차방정식
$$ z^2 -(z_i +z_j )z + z_i z_j =0$$
의 두 근이므로 (보조정리2)에 의해 $z_i$와 $z_j$는 모두 복소수가 됩니다. 따라서, 수학적 귀납법에 의해 (정리1)이 증명됩니다.$$\tag*{$\blacksquare$}$$
휴~ 정말 길군요. 하지만, 어려운 고비는 지나갔습니다. 위 증명은 틀린 것은 아니지만, 위 증명 안에는 입증이 필요한 문장이 있습니다. 집합 $F$에 대한 내용인데, 이것의 도입을 위해서는 '분해체'라는 개념이 필요합니다. 그 개념이 도입이 되지 않으면 인수분해된 꼴의 다항식을 도입할 수도 없고, 그 다항식을 전개할 수도 없습니다. 하지만, 분해체를 배우고나면 $F$를 적당한 분해체라고만 언급만 하면 위 증명을 동일하게 따라갈 수 있음을 알게 될 것입니다. 뭐, 좀 더 큰 다음에 알면 되겠지요? 자, 이제 대수학의 기본정리를 증명하겠습니다. 간단합니다.
(정리2: 대수학의 기본정리) 복소수를 계수로 가지는 1차 이상의 다항식 $p(z)$는 적어도 하나의 복소수근을 가진다.