여기서는 실수를 계수로 가지는 홀수차 방정식이 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하겠습니다. 편의상 최고차항의 계수는 1이라고 가정합니다. 이 증명을 위해서는 우선 아래에 설명된 중간값정리가 필요합니다.
(중간값정리) $\mathbb R$을 실수 전체의 집합이라 하자. 함수 $f: [a,b] \to Y \subset \mathbb R$이 연속이고 $f(a) \neq f(b)$이면 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 실수 $k$에 대해 $f(c)=k$를 만족하는 적당한 $c \in (a,b)$가 있다.
그리고, 실수를 계수로 가지는 다항함수는 연속함수임을 증명없이 받아들이기로 하겠습니다.
실수를 계수로 가지는 홀수차수의 방정식이 적어도 하나의 실근을 가진다는 것은 미적분을 공부했다면 누구나 아는 다항함수의 성질입니다. 직관적으로 설명할 때 많이 쓰는 근거는 최고차항이 양수인 다항함수 $p(x)$가 $\displaystyle{\lim_{x\to \pm \infty} p(x) = \pm \infty}$가 된다는 사실에 기반하여, 위의 중간값 정리에 의해 당연히 성립하는 것입니다. 여기서는 방금 언급한 극한을 체계적으로 정리하겠습니다. 참고가 되기 바랍니다.
우선은, 이 포스팅에서 설명하려는 내용을 한 번 적고 시작하겠습니다.
자연수 $n$과 실수 $a_0, a_1 , \cdots , a_{2n}$에 대해 다항식 $p(x)$를
$$p(x)= x^{2n+1} + a_{2n} x^{2n} + \cdots + a_1 x + a_0$$
이라 하자. 그러면, 방정식 $p(x)=0$은 적어도 하나의 실근을 가진다.
증명 $x \geqslant 1$이라 하면 임의의 $k =1, 2, \cdots , 2n$에 대해 $1 \leqslant x^k \leqslant x^{2n}$이 됩니다. 그러면
$$\begin{align} p(x) &= x^{2n+1} + a_{2n} x^{2n} + \cdots + a_1 x + a_0 \\ &\geqslant x^{2n+1} - \left| a_{2n} x^{2n} + \cdots + a_1 x + a_0 \right| \\ & \geqslant x^{2n+1} - \left( |a_{2n} x^{2n}| + \cdots + |a_1 x| + |a_0| \right) & \quad \quad (삼각부등식)\\ & = x^{2n+1} - \sum_{k=0}^{2n} |a_k | x^k & \quad \quad (x \geqslant 1>0) \\ & \geqslant x^{2n+1} - x^{2n} \sum_{k=0}^{2n} |a_k| & \quad \quad ( x^k \leqslant x^{2n}) \\ &= x^{2n} \left( x - \sum_{k=0}^{2n} |a_k| \right) \end{align}$$
이제, $$\frac N 2 = \max \left( 1, \sum_{k=0}^{2n} |a_k | \right) $$ 이라 하면 $N \geqslant 1$이므로 $$ p(N) \geqslant N^{2n} \left(N-\sum_{k=0}^{2n} |a_k| \right) >0$$ 입니다. 한편, $$-p(-x) = x^{2n+1} - a_{2n} x^{2n} + \cdots + a_1 x - a_0$$ 가 최고차항의 계수가 $1$이고 이후의 계수가 $p(x)$의 계수와 절댓값이 동일하므로 $$ -p(-N) \geqslant N^{2n} \left(N-\sum_{k=0}^{2n} |a_k| \right) >0$$ 즉, $p(-N)<0$임을 얻을 수 있어요. 이렇게 $p(N)>0$, $p(-N)<0$을 얻었고 $p(x)$가 연속함수라는 것은 받아들였으니 중간값정리에 의해 $p(c)=0$인 실수 $c$가 구간 $(-N, N)$에 적어도 하나 존재하게 됨이 설명됩니다. $$\tag*{$\blacksquare$}$$