1858년 8월 27일은 이탈리아의 수학자 페아노(Giuseppe Peano)가 태어난 날입니다. 자연수를 수학적으로 정의할 때 나타나는 페아노 공리의 페아노입니다.
1880년에 박사학위를 받고 본격적인 수학적 경력을 쌓을 때 쯤 페아노는 당시 수학의 정의가 상당히 허술하다는 것을 발견합니다. 심지어, 기하학자로 유명한 Serret의 저서에 문제가 있음을 발견합니다. (이 발견은 그보다 전에 슈바르츠가 했다고 합니다.) 당시 Genocchi의 보조 연구원으로 있던 페아노는 Genocchi의 강의록에 자신의 것을 여러 가지 추가하고 기존 강의록을 수정하고 설명을 추가하여 'Course in Infinitesimal Calculus'라는 교재를 출간했습니다. Genocchi는 페아노의 손이 곳곳에 묻어있는 그 책에 자신의 이름이 있는 것을 불편해해서 후에 '전적으로 페아노의 책'이라는 말을 했다고 하네요.
1886년에는 코시, Lipschitz가 증명했던 정리의 조건을 많이 완화시켜서 우리가 미분방정식을 배우다보면 만나는 다음의 정리를 증명합니다.
함수 $f(x,y)$가 연속이면 다음 미분방정식은 해를 가진다:
$$ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = f(x,y)$$
그리고, 4년 후에 해가 유일하지 않을 수도 있다는 예도 제시합니다.
1887년에 피카르의 방법을 독립적으로 발견했습니다.
1888년에 Geometrical Calculus라는 책을 발간했습니다. 이 책에서 페아노는 현재 우리가 사용하는 벡터 공간을 처음으로 정의했습니다.
1889년에 라틴어 팜플렛(!!) Arithmetices principia, nova methodo exposita에다가 페아노 공리를 게시했습니다. 그 중요한 것을 왜 그런데다가 게시했는지 이해가 안되네요. 어쨌든, 멋지십니다.
1890년에 사각형의 내부의 모든 점을 지나는 연속된 곡선인 'space-filling curve'를 발표합니다. 위 사진은 그 곡선을 구성하는 과정을 설명하는 것입니다.
페아노는 어떤 명제를 보면 단번에 반례를 찾는 초능력을 가지고 있었는데, 이 능력으로 인해 많은 수학의 새싹들이 상처를 입었다고 하죠.
1891-1892년 모든 수학의 정리를 모아놓은 백과사전을 만드는 작업에 착수합니다. 이것은 1908년에 공식적으로 매듭을 지었던 작업인데요, 4200개의 정리가 꼼꼼히 기술되고 증명이 되었다고 합니다. 이 책은 총 5번에 걸쳐서 개정이 되었는데요, 초판이 나올 때부터 페아노는 그 책의 내용을 가지고 수업을 진행했다고 합니다. 그전까지는 명강의로 이름났던 페아노는 이 새로운 시도로 많은 비판을 받게 됩니다. 동료들의 권유에도 그는 기존에 명강의를 이끌었던 강의스타일로 돌아가지 않았다 합니다.
1903년에는 라틴어에 기초한 국제수학언어를 만드는 작업에 착수하여 "Latino sine flexione"이라는 언어를 만듭니다. 그러고는 어느 학술회에서 라틴어로 발표를 시작하여 마지막엔 자신이 만든 언어로 끝내는 발표를 하기도 앴고, 앞서 말한 백과사전의 마지막 5판을 이 언어로 작성하였습니다.