1789년 8월 21일은 프랑스 수학자 코시(Augustin-Louis Cauchy)가 태어난 날입니다. 수학공부를 하다 보면 참 많이 뵙게 되는 분이지요.
코시의 집안과 라플라스, 라그랑쥬가 친밀한 관계를 맺고 있었는데, 그 중 라그랑쥬는 어린 코시(13세 이전)의 재능을 발견하여 그의 아버지에게 '진지하게 수학을 공부하기 위해 우선 고전 언어를 공부시키라'는 조언을 해 주었다고 합니다. 우리나라 입장에서는 재능이 보이는 학생에게 영어공부를 먼저 시키라고 조언하는 것과 비슷하네요. 라그랑쥬의 의견은 받아들여져서 코시는 2년간 언어공부에 몰두합니다. 이후에도 코시는 라플라스와 라그랑쥬의 도움을 많이 받습니다.
코시는 독실한 카톨릭 신자였는데, 그의 종교에 대한 입장과 그의 기본적인 성격은 수학 내, 외적인 많은 분야에서 문제를 만들었습니다. 교수임용에서도 많은 불이익을 당했고, 교수직에 있을 때도 많은 젊은 수학자들의 연구를 폄하한 일도 많았습니다. (피해자 중 갈로아와 아벨도 있습니다.) 뭐, 주고받고 장난이 아니더군요.
강의스타일은 그다지 좋은 편은 아니어서, 자신의 생각의 흐름대로 강의를 해서 뜬금없이 튀어나오는 정리와 괴상한 증명으로 보통의 학생들은 이해하기 어려웠다 합니다. 하지만, 제자로 브루노(Francesco Faà di Bruno), 버냐코프스키(Viktor Bunyakovsky)가 있는 것을 보면 기록에 남아있는 이미지와는 다를 수도 있겠습니다.
수학 외적인 것은 이쯤으로 하고, 그와 관련된 수학적 결론들을 몇 가지 소개하겠습니다.
- 탄성학에서 물체의 Stress 개념을 도입하고 $3 \times 3$ Stress Tensor를 정의했습니다.
- 페르마의 다각수 정리를 증명했습니다. 다각수정리란 각각의 자연수는 많아야 $n$개의 $n$각수의 합으로 나타낼 수 있다는 것인데, 코시의 생일인 $21$의 경우를 예로 들면
$$21=1+10+10$$
처럼 3개의 삼각수로 표현이 가능하기도 하고
$$21=1+4+16$$
처럼 3개의 4각수로도 표현이 됩니다. - 공식적으로 코시는 테일러 정리를 처음으로 완벽하게 증명한 사람입니다.
- 악명높은 $\epsilon$-$\delta$를 통한 엄밀한 해석학을 창시한 분입니다. 실해석학에서는 굉장히 엄밀한 증명을 선호했습니다.
- 복소해석학에서 필수인 코시의 정리,
$$ \oint_C f(z) \mathrm d z =0,$$
코시의 적분공식,
$$f(a)= \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} \mathrm d z,$$
그리고 residue theorem
$$\frac{1}{2 \pi i} \oint_C f(z) \mathrm d z = \sum_{k=1}^n \text{Res}f(z)$$
등이 있습니다. 위 세 수식에는 그에 대응되는 조건들이 있으므로 구체적인 것은 공부를 하시다 보면 알게 될 것입니다. - 코시-슈바르츠 부등식이 있습니다. 고등학교때 보게 되는 다음 꼴은 코시가 발견한 것입니다.
$$\left\vert \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k} \right\vert^2 \leqslant \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \cdot \sum_{k=1}^n |y_k|^2$$
슈바르츠는 이 식을 좀 더 넓은 대상으로 일반화시켰습니다. - 무한급수의 수렴성 테스트인 Root test, 즉, 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$의 수렴성을 $\displaystyle{\limsup_{n \to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$의 값으로 결정하는 방법은 코시의 연구결과입니다.
- 이론적으로나 실용적으로나 수열의 수렴성 또는 위상공간의 완비성을 따질 때 유용한 코시수열을 정의했습니다.
- 다면체의 합동을 면끼리의 합동으로 얻어낼 수 있다는 결론을 얻었었는데, 당시의 증명은 오류가 있었으나, 1900년대 초에 수정이 되고 더 일반적인 영역에서 유사한 정리들이 만들어졌습니다. 이후, 원래 코시가 제시했던 정리의 모양과 유사하면 모두 코시의 정리라 합니다.
- 군론에서 기초적인 정리 중 코시의 정리라 불리는 것이 있습니다. 내용은 이러합니다:
유한군 $G$에서 $n=|G|$라 하고 $p$가 $n$의 약수인 소수이면 $x^p =e$($e$는 항등원), $x \neq e$인 $x \in G$가 존재한다. - 급수의 적분테스트도 코시가 개발했습니다.