1939년 8월 19일은 영국의 수학자 베이커(Alan Baker)가 태어난 날입니다. 1970년에 필즈상을 수상한 분이시지요. 당시 나이가 31세(!!!) 입니다. 수학자 계보상으로 페르마 마지막 정리를 증명한 엔드류 와일즈의 할아버지이기도 합니다. 이 리포트에서는 그가 필즈상을 수상하는 계기가 되었던 디오판토스 방정식(Diophantine Equation)을 시작으로 그가 일반화시킨 겔폰트-슈나이더 정리, 그리고 그의 저서들에 대해 다루겠습니다.
디오판토스 방정식
디오판토스 방정식이란 미지수를 둘 이상 가지는 다항방정식인데, 형태는 일반적인 방정식이지만 방정식의 해로 정수해를 요구합니다. 간단한 예로 $x+y=1$의 정수해를 구하라면 일종의 디오판토스 방정식을 풀라는 문제가 됩니다. 정수 $a$, $b$, $c$에 대해 $ax+by=c$를 만족하는 정수해 $x$, $y$를 구하는 문제는 아주 옛날에 풀렸죠. 하지만, 베이커가 한참 연구를 하던 시기에는 디오판토스 방정식들 중에 해결해야 할 유명한 문제들이 다음과 같이 많이 남겨져 있었습니다.
$$w^3 +x^3 =y^3 +z^3, \quad x^n +y^n=z^n, \quad x^2-ny^2 = \pm 1, \cdots $$
1900년대 초만 해도 이 부류의 방정식은 상호관계도 별로 없고 방정식마다 다른 방식을 통해 문제를 해결해왔던 아주 너저분한 영역이었습니다. 그런데 1909년 Axel Thue라는 수학자가 3차 이상의 정수계수를 가지는 irreducible homogeneous polynomial(간단히 말하면 인수분해가 불가능하면서 모든 항의 차수가 같은 다항식입니다.) $f$와 정수 $m$으로 이루어진 디오판토스 방정식 $f(x,y)=m$은 정수해를 유한개 가진다는 것을 증명했습니다. 이후에 Carl Siegel, Klaus Roth는 이러한 결론을 얻을 수 있는 다항식 $f$의 범위를 늘렸고, 해의 개수가 최대 얼마까지 될 수 있는지를 알아내었습니다.
베이커는 해를 어디서 찾아야 하는지를 알아냈지요. 그의 결과를 간단히 쓰면 정수계수를 가지는 디오판토스 방정식 $f(x,y)=m$의 해를 $(x_0,y_0)$라 하면 적당한 상수 $B$($f$의 계수와 $m$으로만 이루어져 있습니다.)에 대해
$$\max(|x_0|,|y_0|) \leqslant B$$
이 성립한다는 것입니다. 부등식으로 되어 있기 때문에 $B$의 값이 최적값인지는 확인이 필요하겠지만, 이것만으로도 대단한 것이지요. 필즈메달을 받는데 결정적인 기여를 한 결과입니다.
베이커 정리
우선은 유리수 계수를 가지는 다항 방정식의 해가 될 수 있는 복소수를 대수적 수(algebraic number)라 하고, 대수적 수가 아닌 복소수를 초월수(transcendental number)라 한다는 것을 알고 시작해야 하겠습니다.
겔폰트-슈나이더 정리는 다음과 같습니다.
$a$와 $b$를 0도, 1도 아닌 대수적 수라 하자. 만약 $b$가 무리수라면 $a^b$은 초월수이다.
베이커는 이 결과를 일반화시켜서 다음과 같은 정리를 만듭니다. (참고로, 원래의 정리는 이해하기 어려울듯하여 베이커 정리가 아닌 그 정리에서 파생된 결과물을 적습니다. 완전히 같은 것은 아니라고 알고 있습니다. 전공이 아니라 확실하지 않은데, 혹시라도 착오가 있다면 덧글로 남겨주시면 감사하겠습니다.)
$a_1, a_2 , \cdots, a_n; b_1 , b_2 , \cdots, b_n$을 0도, 1도 아닌 대수적 수들이라 하자. 만약 $b_1 , b_2 , \cdots, b_n$이 모두 무리수이면서 $1, b_1 ,b_2 , \cdots , b_n$이 유리수 위에서 일차독립이면 다음 수는 초월수이다.
$$a_1^{b_1} a_2^{b_2} \cdots a_n ^{b_n} $$
베이커의 저서
처음 필즈상을 받은 Ahlfors부터 필즈상 수상자들은 중요한 수학책들을 남겼습니다. 이들이 썼던 수학책들은 대중성있는 수학책들보다 더 좋은 아이디어를 담고 있으며, 장기적으로 수학을 공부할 사람들에게는 많은 영감을 주었습니다. 베이커의 경우에도 리뷰가 엄청나게 달린 수학책들을 많이 저술했습니다. 동일한 분야로 입문하실 분들은 참고하시기 바랍니다. 책이름 아래의 링크는 구글북스로의 링크입니다. 구매를 하거나 대여를 하거나, 다른 도서를 보려면 그곳에서 이동하면 편할 것입니다.
Transcendental Number Theory(1975)
https://books.google.co.kr/books/about/Transcendental_Number_Theory.html?id=SmsCqiQMvvgC&redir_esc=y
Transcendence Theory: Advances and Applications(1977)
https://books.google.co.kr/books?id=__buAAAAMAAJ&hl=ko&source=gbs_book_similarbooks
A Concise Introduction to the Theory of Numbers(1984)
https://books.google.co.kr/books?id=hAFfb8BBC0IC&hl=ko&source=gbs_book_similarbooks
Logarithmic Forms and Diophantine Geometry(2008 with G. Wüstholz)
A Comprehensive Course in Number Theory(2012)
https://books.google.co.kr/books?id=T_MgAwAAQBAJ&hl=ko&source=gbs_book_similarbooks