1685년 8월 18일은 영국의 수학자 테일러(Brook Taylor)가 태어난 날입니다. 우리가 익히 들어온 '테일러급수'의 테일러입니다. 테일러는 1715년에 Methodus Incrementorum Directa et Inversa라는 책과 Linear Perspective라는 책을 발표합니다. (개정판은 각각 1717년과 1719년에 발표되었습니다.) 우리가 알고 있는 테일러급수는 먼저 나열한 책에 있습니다. 이 두 책에서 테일러의 많은 생각과 중요한 결과물을 찾아볼 수 있습니다.
1721년에 아버지의 반대를 무릅쓰고 Miss Brydges와 결혼을 합니다. 반대의 이유는 Brydges의 가정형편이 당시에는 부유하고 사회적 지위도 높았던 테일러가문과 맞지 않는다는 것이었답니다.... 이 결혼으로 테일러는 아버지와의 연락을 한동안 끊고 지냅니다만, 2년 후 Brydges가 아들을 낳다가 아들과 함께 사망하면서 집으로 돌아옵니다. 이후 1725년에 아버지의 승인하에 Sabetta Sawbridge와 결혼을 하는데, 이번에는 1729년에 아버지가 돌아가십니다. 그리고 1년 후 부인도 딸 Elizabeth만 남기고 세상을 떠납니다. 1년 후 테일러도 건강이 안좋아져서 세상을 떠납니다. (이전에도 건강이 좋지는 않았었다고 합니다.)
테일러의 업적으로 알려진 테일러 급수는 무한번 미분가능한 함수에 대해 정의된 다음과 같은 급수를 말합니다:
$$f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 +\cdots$$
그리고 테일러 정리는 $x=a$에서 $k$번 미분가능한 함수 $f$의 함수값은 $x=a$근처에서 위 급수의 부분합으로 근사할 수 있다는 것입니다. 즉, $a$에 충분히 가까운 $x$값에 대해
$$f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)} (a)}{k!}(x-a)^k + (에러 \;또는\; 오차)$$
가 성립한다는 것입니다. 위 그림은 $e^x$을 테일러급수로 근사하는 것을 보여줍니다. 그림의 $n$값은 근사를 위해 몇 번 미분한 항까지를 더했는지를 표시한 것입니다.
하지만, 테일러급수와 테일러 정리는 그 당시 많은 수학자들이 독자적으로 개발을 해서 실제 문제 풀이에 사용을 하고 있던 것이라고 합니다. 이 중에는 James Gregory, 뉴턴, 라이프니츠, 요한 베르누이, 드므와브르 등이 있습니다. 테일러급수라는 말은 1786년 스위스 수학자 Lhuilier가 처음 사용했다는 설이 있습니다.
테일러는 '부분적분법'을 고안해낸 수학자로 알려져 있습니다. 이 문서 초반에 나열했던 그의 저서 중 첫 번째 책에 들어있죠. 역함수를 가지는 함수의 미분과 원함수의 미분 사이의 관계식(우리나라 교과과정에서는 역함수의 미분법이라고 알려진 관계식입니다.)도 그 책에 실려있고, 이외에도 calculus of finite differences에 관한 많은 내용이 같은 책에 실려있습니다. 다음 링크를 따라 가보면 그 책의 내용을 알아보기 쉽도록 재해석한 영문 파일을 받아보실 수 있습니다.
http://www.17centurymaths.com/contents/taylorscontents.html
그가 쓴 책 중 Linear Perspective는 소실점에 대한 수학적인 해석입니다. 소실점이란 다음 그림에서 보이듯, 실제 평행인 선을 우리 눈으로 관찰했을 때 멀리 가서 가상으로 만나는 것처럼 보이는 점을 말합니다.
위 그림이 너무 복잡하다면 다음 그림이 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
미술시간에 입체를 그릴 때 배우는 내용과 동일합니다. 'Linear Perspective'의 핵심 정리는 다음과 같습니다.
평행이 아닌 두 직선은 교점과 소실점에서 만난다.
Linear perspective에 대한 추가 내용은 구글북스에서 무료로 제공되는 다음 책을 참고하시기 바랍니다.
https://books.google.co.kr/books?id=m0cEAAAAYAAJ&redir_esc=y