1667년 8월 6일은 스위스 수학자 요한 베르누이가 태어난 날입니다. 베루누이 가문은 유전자가 특별한지 유명한 수학자, 과학자들이 많으므로 전체 이름을 기억하셔야 서로 구분이 되겠습니다. 미적분학의 발전에 많은 기여를 했지요. 그가 이루어낸 결과들은 그의 이름이 붙어있지는 않지만 많이 알려져 있는 것들입니다. 하나씩 살펴보기로 하죠.
위 사진은 광안대교의 사진입니다. 광안대고 중앙의 아름다운 곡선이 보이지요? 줄이 중력에 의해 휘어졌을 때 만드는 곡선으로, 현수선이라고도 하는데요, 이 현수선의 방정식을 유도해냈습니다. $x$-$y$좌표계에서 표현해 보면 다음과 같은 식으로 표현됩니다.
$$ y= a \cosh \left( \frac x a \right) = \frac a 2 \left( e^{x/a} + e^{-x/a} \right) $$
여기서 $a$는 그 줄을 구성하는 매질에 관계되는 상수입니다.
다음은 로피탈의 정리가 있습니다. 베르누이는 한때 로피탈의 재정적 지원을 받으면서 공부를 한 적이 있습니다. 그 때 연구결과를 로피탈하고만 공유하기로 계약을 했었는데요, 로피탈이 나중에 베르누이의 연구결과를 대폭 인용하여 미적분학 책을 출간했었습니다. 그 미적분학 책에 수록되어 있던 내용중에 우리가 알고 있는 로피탈 정리가 있었습니다만 베르누이가 발견한 것이라고 알려져 있습니다. 잘 아시겠지만, 로피탈 정리는 $f$와 $g$, 실수 $c$가 적절한 조건을 만족할 때 다음 등식이 성립함을 말하는 것입니다:
$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
또한, '2학년생의 꿈(Sophomore's dream)'이라고도 알려진 다음 등식을 발견했습니다:
$$\int_0^1 x^{-x} \mathrm d x = \sum_{n=1}^\infty n^{-n} $$
$$\int_0^1 x^{x} \mathrm d x = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-n} $$
이것은 '신입생의 꿈(freshman's dream)'이라고도 알려진 틀린 등식 $(x+y)^n = x^n +y^n$과는 다르게 맞는 식입니다.
또한 갈릴레이가 제시했던, 중력의 영향만을 받으면서 두 지점을 가장 빨리 이동할 수 있는 경로가 사이클로이드라는 것을 풀어냈습니다.(이것은 베르누이가 너무 많아 저도 확실하지 않습니다. 뉴튼이 어떤 베르누이에게 이 문제를 받고 한방에 풀어내서 놀라게 했다는 일화는 유명한데, 그 베르누이가 누군지는 조사해서 업데이트 하겠습니다.)