아벨

"Niels Henrik Abel" by Johan Gørbitz - Originally uploaded to English wikipedia by en:User:Pladask, http://www.math.uio.no/div/abelkonkurransen/. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Niels_Henrik_Abel.jpg#/media/File:Niels_Henrik_Abel.jpg

1802년 8월 5일은 노르웨이의 수학자 아벨(Niels Henrik Abel)이 태어난 날입니다. 생전에는 그 업적을 인정받지 못하고 일자리를 못구해 가난과 결핵으로 26세에 세상을 등진 비운의 수학자이기도 합니다.

5차 이상의 방정식에는 거듭제곱근 기호와 사칙연산만을 사용해서 표현할 수 있는 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 역사상 처음으로 증명한 수학자입니다. 이 문제는 이전에 250년간 수학자들을 괴롭혔던 문제라고 하네요. 이런 사람이 왜 일자리를 못구했을까요? 비슷하게도 5차 이상의 방정식에 대한 연구를 한 갈루아도 20세에 생을 마감했습니다. 갈루아도 그랬지만, 아벨은 이 사실을 증명하기 위해 군론을 만들어냈습니다. 이것은 후대 수학자들의 중요한 밥줄이 되었죠. 군론을 공부하시다 보면 아름다운 아벨군(Abelian group)을 만나게 되실겁니다.

아벨상(아벨상은 2003년부터 노르웨이 왕실에서 1년에 한 번 일생동안의 업적이 돋보이는 수학자에게 수여하는, 필즈상 다음으로 권위있는 상입니다.) 웹사이트(http://www.abelprize.no/)에 가 보시면 아벨이 발간 전 손으로 쓴 논문의 일부를 볼 수 있는데, 2007년 입수된 이 필사본은 모두 타원함수에 대한 것입니다. 저널 에디터가 보관을 하고 있다가 팔아먹던 것의 일부를 회수한 것입니다. 타원함수 영역에서도 아벨은 높은 평가를 받고 있습니다.

무한급수의 수렴성 및 그 판정법에 대해서도 아벨의 이름을 많이 볼 수 있습니다. 흠... 둘러본 중 제가 보기에 가장 쉬워보이는 것은 다음 정리입니다.

수열 $\{a_n \}$, $\{ b_n \}$에 대해 다음 세 조건이 모두 성립한다고 가정하자.

1. $\sum a_n$은 수렴하는 급수이다.
2. $\{ b_n \}$은 단조증가, 또는 감소하는 수열이다.
3. $\{ b_n \}$은 유계이다.

그러면 $\sum a_n b_n$은 수렴한다.

어떤 수학자(죄송합니다. Hermite씨) 는 아벨의 업적이 500년간 수학자들이 바삐 연구할 일거리를 만들어준 것이라고 높이 평가를 했습니다.