귀납적으로 근의 거듭제곱의 합 구하기

고등학교 과정에서 다음과 같은 문제를 풀어본 경험이 있을 것이다.

 

이차방정식 $x^2 + x - 1 =0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha^7 + \beta^7$의 값을 구하여라.

 

물론, 근/계수 관계와 적절한 곱셈공식의 사용으로 답을 쉽게 얻어낼 수 있다. 하지만, 다음과 같은 방법을 생각해 볼 수도 있다:

 

$\alpha + \beta = -1$임은 자명하다. 또한, $\alpha^0 + \beta^0 = 2$이다. 

만약 $s_n = \alpha^n + \beta^n$이라 약속하면 $s_0=2$, $s_1 = -1$이다. 또한, $x^2 = -x+1$이므로 임의의 자연수 $n \geqslant 2$에 대해

$$\begin{align*} s_n &= \alpha^n + \beta^n \\ &= \alpha^{n-2} (-\alpha +1) + \beta^{n-2} (-\beta +1 ) \\ &= -(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) + (\alpha^{n-2} + \beta^{n-2} )  \\ &=-s_{n-1} +s_{n-2}\end{align*}$$

이 성립한다. 이 관계를 이용하면 구하려는 값은 $s_7$의 값으로 얻어낼 수 있다.

 

일반적으로, 이차방정식 $ax^2 +bx+c=0$이 주어져 있을 때, $as_n +bs_{n-1} +cs_{n-2}=0$이 성립한다. 이 방법은 뉴턴이 1666년경에 발견했다. 고차방정식에서도 조건만 맞으면 같은 방법을 적용할 수 있다.