$\sqrt{2}$가 유리수가 아님을 증명하는 것은 수학사적으로 더 나아가 인류 역사적으로 아주 중요한 의미를 가진다.
피타고라스의 정리는 여러 문명에서 발견되어 각 문명에서 직각삼각형을 구성하기 위한 숫자를 찾는 데 많은 도움을 줘 왔다. 하지만, 이상하게도 가장 단순한 직각이등변삼각형의 빗변의 길이의 값에 대해서는 관심이 별로 없었는데(아마도 당시의 수 개념에서는 너무 어려운 수라고만 인식했을 수도 있다.), 기원전 4세기경이 돼서야 그리스인들이 관심을 가지게 된다. 그리스인들은 비례관계의 개념을 정립하고(완전한 정의는 Eudoxus가 370B.C.에 함) $\sqrt{2}:1$을 가장 간단한 정수비로 나타내려고 했다. 얼마 안 가, 그들은 이 비율을 구할 수 없다는 것을 발견하게 된다. 그로 인해 그동안 그들이 사용하던 수학의 기초가 빈약하다는 인식을 하게 된다. 그 결과로 논리적으로 엄밀한 수학이 구축되기 시작했으며 결국 유클리드의 "원론"이라는 책이 만들어지면서 인류역사의 꽤 오랜 기간 동안 이 위기감에서 벗어나게 된다. 또한, 이런 노력의 부산물로 그리스인들은 인류 역사상 처음으로 무한을 본 사람들이 된다.
$\sqrt{2}$가 무리수임을 처음으로 알아낸 사람은 피타고라스 학파의 일원인 히파서스(Hippasus)로 알려져 있다(이와 관련해서 남겨진 기록들이 일치하지 않아 논란의 여지는 있다.).
그 발견의 결과로 그는 학파에서 추방(혹은 지중해 한복판에서 익사?)되었다고 한다. 하지만, 그리스 학자들은 비율을 잘 조절하면 어떤 무리수든 근사시킬 수 있다는 것을 알아냈다. 이 근사법에 대한 여러 변형을 연구하다가 적분의 원시 개념인 카발리에리의 원리를 발견하기도 하고, 원주율을 다각형을 통해 정밀하게 구하는 방법들도 고안해 냈다.
여기서는 유클리드 원론에 실린 증명과는 다른, 기하학을 활용한 증명을 살펴본다:
$\sqrt{2}$가 유리수라고 가정하자. 그러면 서로소인 두 자연수 $a$, $b$에 대해 $\sqrt{2} = \dfrac a b$라 할 수 있다. 이제 아래 그림과 같이 세 변이 $a$, $b$, $b$인 삼각형을 그리면 $b^2 +b^2 = 2b^2 = a^2$이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 다음 삼각형은 직각삼각형이다.
이제, 점 $\mathrm C$를 중심으로 반지름이 $b$인 원을 그리고 빗변과 만나는 점을 $\mathrm P$라 하자.
그리고, $\mathrm P$에서 변 $\mathrm{BC}$에 수직인 직선을 그어 변 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm Q$라 하자.
그러면 $\overline{ \mathrm {PC}} = b$이므로 $\overline{ \mathrm {PB}} = a-b$이다.
그리고,삼각형 $\mathrm{BPQ}$가 삼각형 $\mathrm{BAC}$와 닮음이므로 $\overline{ \mathrm {PQ} }= \overline{ \mathrm {PB} }= a-b$이다.
또한, 직선 $\mathrm{PQ}$와 $\mathrm{AQ}$가 모두 $\mathrm C$를 중심으로 하고 반지름이 $b$인 원의 접선이므로 접선 길이는 같아야 한다. 즉, $\overline{ \mathrm {AQ}} = \overline{ \mathrm {PQ}} = a-b$.
그러면 $\overline{ \mathrm {BQ}} = b - (a-b) = 2b-a$가 된다.
이제, 닮은 두 삼각형 $\mathrm{BPQ}$와 삼각형 $\mathrm{BAC}$에서 다음 등식을 얻게 된다.
$$ \sqrt{2} = \frac a b = \frac{2b-a}{a-b}$$
위 식의 맨 오른쪽은 분모, 분자 모두 각각 $b$, $a$보다 작은 자연수로 이루어진 유리수이다. 하지만, 이것은 $a$, $b$가 서로소라는 애초의 가정에 모순된다. 따라서, $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다.