삼각함수의 곱을 합/차로 바꾸는 공식, 합을 곱으로 바꾸는 공식을 배운 세대들은 고등학교 과정에서 다음과 같은 등식을 몇 번 유도해보게 된다.
이 등식을 ‘모리의 법칙’이라 한다. 이 법칙에 붙여진 ‘모리’라는 이름은 수학자의 이름이 아니라 어떤 아이의 이름을 따서 지은 것이다. 파인만이 어렸을 적에 Morrie Jacobs라는 친구에게서 이 등식을 처음 접했는데, 이 등식이 너무나도 또렷하게 기억이 남아서 이 등식이 언급될때마다 모리의 이름을 따서 부른 것이 그 유래가 되었다.[1] 2011년 Paul J. Nahin은 그의 책에서 이 등식을 ‘제이콥스-파인만 등식’이라 부르기도 했다.[2]
모리의 법칙은 서로 다른 세 무리수를 곱해서 간단한 형태의 값을 얻어내는 특이한 식이다. 위 식과 비슷한 버전으로 다음과 같은 식도 있다.
위 두 식을 서로 나누면 다음과 같은 식도 얻어낼 수 있다.
모리의 법칙은 다음 등식의 특수한 경우를 써넣은 것이다.
위 식의 증명은 배각공식 $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, 즉 $\cos \theta = \dfrac{ \sin 2 \theta}{2 \sin \theta}$를 사용하면 다음과 같이 쉽게 증명할 수 있다. \begin{align*} \require{cancel} \cos \theta \cos 2 \theta \cos 4 \theta &\cdots \cos 2^{n-1} \theta \\ & = \frac{\cancel{\sin 2 \theta}}{2 \sin \theta } \frac{\cancel{\sin 4 \theta}}{2 \cancel{\sin 2 \theta }} \frac{\cancel{\sin 8 \theta}}{2 \cancel{\sin 4 \theta} } \cdots \frac{\sin 2^n \theta}{2 \cancel{\sin 2^{n-1} \theta} } \\ & = \frac{\sin 2^n \theta}{2^n \sin \theta} \end{align*} 특별히 $2^n \theta \pm \theta = \pi, 2 \pi, \dots$와 같은 관계가 성립하는 $\theta$를 잡아주면 모리의 법칙과 비슷한 등식을 만들어낼 수 있다. 예를 들어 $2^3 \theta + \theta = 180^\circ$($n=3$)인 경우에 모리의 법칙이 유도되고, $2^4 \theta - \theta = 360^\circ$($n=4$)인 경우에 다음과 같은 등식이 성립한다. $$ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 96^\circ \cos 192^\circ = \frac 1 {16} $$