이 글에서는 작도와 대수학의 연결고리에 대해 다룬다. 수학과 학부의 추상대수를 배웠다면 딱히 새로운 내용을 발견하기 어려울 것이라 본다. 이 글은 인수분해를 할 수 있고 이차방정식을 풀 수 있다면 전체 내용을 이해해 볼 수 있도록 써 보았다. 논리적인 엄밀성은 좀 부족하지만 어떻게 수학자들이 작도불가능 문제를 해결했는지를 더 많은 사람들이 이해할 수 있는데 도움이 되었으면 좋겠다.
그리스 3대 작도 불능 문제
그리스 수학자들은 눈금없는 자와 컴퍼스만을 가지고 수많은 대수학적, 기하학적 지식을 유도해내었다. 숫자 기호 자체가 발달하지 않았던 당시에는 많은 대수적 사실이 기하를 통해 설명되었다. 자와 컴퍼스는 그들의 수학적 논리 도구였다. 하지만, 그들은 비교적 단순해 보이는 다음 세 가지 작도 문제를 해결하지 못했다.
- 임의의 각에 대해 그 각의 삼등분선을 작도할 수 있는가?
- 주어진 정육면체의 부피의 두 배를 부피로 가지는 정육면체의 한 변을 작도할 수 있는가? ($\sqrt[3]{2}$의 작도)
- 주어진 임의의 원에 대해 그 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도할 수 있는가? ($\sqrt \pi$의 작도)
그리스인들은 위 문제를 눈금없는 자와 컴퍼스가 아닌 다른 도구를 통해 해결했다. 이 때가 기원전 4세기다.
19세기경 가우스는 작도를 대수적으로 연구하기 시작했다. 그는 $x^p -1 =0$($p$: 소수)이라는 방정식의 해를 정다각형과 관계지어서 생각했는데, 정17각형의 작도법을 소개하기도 했다. 하지만, 특별한 결과 없이, $p$가 $2^n +1$꼴이 아닌 경우에 대해 작도를 연구하는 것이 인생의 낭비라는 말 정도를 남겼다. 작도 불능에 대한 정확한 증명은 1837년 프랑스 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantzel, 1814-1848)에 의해 이루어졌다.[1] 하지만, 방첼의 짧았던 인생과 ‘불가능’에 대한 수학적 결과를 잘 소개하지 않던 시대의 흐름상 일시적으로 그의 결과는 잊혀졌고, 1895년 A. de Lapparent에 의해 다시 세상에 알려지게 되었다.[2] 이 글의 내용은 방첼이 소개했던 내용을 재구성한 것이다.
[1] Wantzel, Pierre Laurent, Recherches sur le moyens de reconnaître si un Problème de Géometrie peut se résoudre avec la règle et le compas, Journal de Mathématiques pures et appliquées 2, 366–372 (1837).
[2] Lapparent, A. de, Pierre-Laurent Wantzel (1814–1848). École Polytechnique: Livre du Centenaire, 1794–1894, vol. 1, pp. 133–135. English translation at http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/De_Lapparent_Wantzel.html.
작도 가능한 수의 대수적 구조
‘작도 가능한 수’라는 것은 주어진 어떤 선분의 길이를 1로 잡았을 때 원점을 포함한 어느 직선 위에 눈금없는 자와 컴퍼스를 각각 유한 번 사용해서 작도(표시)할 수 있는 수를 말한다. 두 수 $a$, $b$가 작도가능한 수라 할 때, 자와 컴퍼스를 각각 한 번씩만 사용해서 두 선분을 옮겨그릴 줄만 알면 작도할 수 있는 $-a$, $a+b$, $a-b$는 모두 작도 가능하다.
한편, 우리가 평행선을 작도할 줄 안다는 사실과 닮음을 이용하면 아래 그림을 보고 길이가 $a$, $b$인 선분을 가지고 길이가 $ab$, $a/b$(0으로 나누는 것은 제외)인 선분을 어떤 순서로 작도해야 하는지 이해할 수 있을 것이다.
또한, 아래 그림은 $a$가 작도 가능한 수일 때 $\sqrt{a}$를 어떻게 작도할 수 있는지를 나타낸다.
즉, 여기까지의 결과로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
이 규칙을 통해 작도 가능한 수들을 모두 찾아보기로 하자.[3]
[3] 이 부분에 대한 설명은 Field Extension / Extension Field를 사용해서 설명하는 것이 수학적이지만, 여기서는 추상대수학을 배우지 않았다는 가정하에 설명하므로 이 내용을 언급하지 않는다. 관심있는 사람은 추상대수학의 해당 부분을 공부하면 된다.
우선, 단위길이 1을 이용해서 정수가 모두 작도가능해진다. 이 수는 직선 한 번, 컴퍼스 한 번으로 얻어지는 수이므로 모든 작도 가능한 수는 이 수를 기본으로 추가작업을 통해 얻어진다. 그러면 위 결과에 의해 기본적으로 유리수는 모두 작도가 가능해지고 유리수의 제곱근들도 모두 작도가 가능해진다. 또한, 이 작업을 유한번 반복해서 얻어지는 모든 수들도 작도가 가능하다. 적절히 기호를 사용해서 표현하면 다음과 같은 수들은 모두 작도가능하다. ($a_*$, $b_*$들은 유리수다.) \begin{align*} a_0 &+ a_1 \sqrt{a_{10}} + a_2 \sqrt{a_{20}} + \cdots \\ & + b_1 \sqrt{b_{10}+ b_{11} \sqrt{b_{110}}} + b_2 \sqrt{ b_{20} + b_{21} \sqrt{b_{210}} + b_{22} \sqrt{b_{220}}} + \cdots \end{align*} 이 수들을 모두 모아놓은 집합을 $C$라 하자. 이 숫자들 말고 새로운 숫자가 작도가능한지 확인하기 위해 작도가능한 숫자의 개념을 다시 한 번 생각해 보자.
작도가능한 숫자는 자와 컴퍼스로 만들어지는 교점을 연결해서 얻을 수 있는 길이를 수직선에 표현한 결과값들이다. 집합 $C$에 있는 숫자는 작도가 가능한 숫자이므로 $C$의 점을 이용해서 작도를 통해 얻어낼 수 있는 수는 자와 컴퍼스만을 이용한다는 제약 때문에 다음 중 하나의 과정에서 얻어낼 수 있다.
- $C \times C$에 들어있는 두 점을 연결해서 얻어낼 수 있는 두 직선 $l_1$, $l_2$의 교점
- $C \times C$에 들어있는 두 점을 연결해서 얻어낼 수 있는 한 직선 $l_1$과 $C \times C$의 한 점을 중심으로 하고 다른 점을 지나는 원 $O_1$의 교점
- $C \times C$의 한 점을 중심으로 하고 다른 점을 지나는 원 $O_1$, $O_2$의 교점
$C \times C$의 두 점을 지나는 직선은 $c_0 + c_1 x + c_2 y =0$($c_0$, $c_1$, $c_2 \in C$)꼴로 쓸 수 있다. 이런 두 직선의 교점은 $c_i$들의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 조합으로 얻어지므로 다시 $C$의 원소가 된다. 따라서 위 리스트 1번에서는 새로운 수가 얻어지지 않는다.
$C \times C$의 한 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원의 방정식은 $x^2 +y^2 + c_1 x + c_2 y + c_3 =0$($c_1$, $c_2$, $c_3 \in C$)의 꼴로 쓸 수 있다. 또한, 목록 3의 경우에는 두 원의 방정식을 연립해서 직선의 방정식을 얻어낼 수 있으므로 목록 2의 경우만 생각하면 된다. 목록 2의 상황은 다음 연립방정식을 푸는 것과 같다. \begin{align*} a_0 + a_1 x + a_2 y &= 0 \\ c_0 + c_1 x + c_2 y + x^2 +y^2 &=0 \end{align*} 일차식을 이용해 원의 방정식의 문자를 한 종류로 바꿔서 이차방정식을 얻어낼 수 있는데, 이렇게 얻어낸 방정식의 근은 $C$의 원소인 계수들의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱근으로 표현되므로 다시 $C$의 원소가 된다. 따라서, 집합 $C$에서 추가로 얻어지는 작도가능한 수는 없다.
응용
위 결과로 앞서 설명한 그리스 3대 작도불능문제 둘째, 셋째 문제는 작도불가능함이 설명된다. 각의 삼등분은 방첼이 반례를 들었던 $60^\circ$의 삼등분이 불가능함을 설명해서 해결할 수 있다. 코사인의 삼배각공식인 $$\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta -3 \cos \theta$$ 를 이용하면 $\cos 20^\circ$는 다음 삼차방정식의 해가 됨을 알 수 있다. $$4x^3 -3x = \frac 1 2$$ 이 방정식은 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해 되지 않으므로 이 방정식의 해는 앞서 말한 집합 $C$의 원소가 될 수 없다. 따라서, $60^\circ$는 눈금없는 자와 컴퍼스로 삼등분할 수 없다.