2변수 수열의 극한

한국 교육과정을 따라서 지수함수를 배워온 사람이라면 실수지수의 정의를 유리수 지수의 정의를 이용해 정의한 다음 정의를 이용해서 배운다.

$a>0$이고 수열 $\{ r_n \}$을 실수 $\mu$로 수렴하는 유리수 수열이라고 하자. 그러면 $a^\mu$은 다음과 같이 정의된다. $$a^\mu = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$$

이 정의는 몇 가지 확인이 필요한데, 하나는 극한값이 존재하는지이고, 다른 하나는 $\mu$로 수렴하는 다른 다양한 수열에 대해서도 같은 극한값이 나오는지이다. 하지만, 이 정도 내용은 극한의 성질만 인정한다면 고등학교 수준에서 증명할 수 있다. 구체적인 증명은 다음 책을 참고하면 된다.

 

https://pkjung.tistory.com/156?category=595592

고교수학 upgrade - 수학 I편

하지만, 이 정의를 사용해서 설명해야 할 내용 중 고등학교 수준에서 증명이 곤란한 것이 딱 하나 있는데, 바로 다음 지수법칙이다. (불가능한 것은 아니다. 단지 아래에서 설명하는 개념 확장이 좀 필요할 뿐, 극한의 부등식에 대한 성질을 적절히 활용하면 증명할 수 있다. 다른 지수법칙은 특별한 작업 없이 모두 증명 가능하다.)

$a>0$와 두 실수 $\mu$, $\nu$에 대해 다음 식이 성립한다. $$ (a^\mu)^\nu = a^{\mu \nu}$$

이 문서는 이 증명을 위해 알아야 할 내용을 설명한다.

1. 곱의 지수법칙의 증명과정과 문제점

위에서 소개한 곱의 지수법칙의 증명을 대강 써보면 다음과 같다.

$\mu$, $\nu$로 각각 수렴하는 두 유리수 수열 $\{r_n \}$, $\{ s_n \}$을 임의로 택하자. 그러면 \begin{align*} (a^{\mu})^\nu &= \lim_{n \to \infty} (a^\mu)^{s_n} &\text{(실수 지수의 정의)} \\ &= \lim_{n\to \infty} \left( \lim_{m \to \infty} a^{r_m} \right)^{\!s_n} &\text{(실수 지수의 정의)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} (a^{r_m})^{s_n} &(\text{함수 } f(x)=x^p, p \in \mathbb Q\text{의 연속성}) \\ &= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a^{r_{m} s_{n}} &\text{(유리수 지수의 지수법칙)} \\ &= a^{\mu \nu} &\text{(실수 지수의 정의)} \end{align*}

언뜻 보아서는 문제가 없어보이지만 마지막 등호는 당연한 내용이 아니다. 일반적으로 다음 등식은 성립하지 않는다. $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{mn} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{mn} = \lim_{(m,n) \to \infty } a_{mn}$$

이 이야기를 진행하기 전에 우선 $\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} a_{mn} }$의 뜻을 간략히 설명해야겠다. 아래 그림은 수열 $a_{mn}$의 값을 $m$축, $n$축을 잡아서 색으로 표현한 것이다. 극한값을 표현하기 위해 편의상 펜로즈 다이어그램처럼 무한대의 위치의 값을 사각형의 경계에 가져다 두었다.

위 그림에 표시된 수열의 값은 아래쪽과 오른쪽 가장자리의 색이 일정하지 않다는 것으로 $\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} a_{mn} }$, $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{mn} }$의 값이 각각 $n$, $m$에 따라 달라진다는 것을 확인할 수 있다. 하지만, $m$, $n$ 둘 다 아주 커지면 옅은 주황색에 해당되는 값(오른쪽 아래 모서리 값)에 수렴한다는 것을 알 수 있다. $\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} a_{mn} }$은 이 값을 말한다. 이 방식으로 그린 그림이 아래와 같은 패턴을 보이면 $\{ a_{mn} \}$은 발산하는 수열이다.

그렇다고 어느 한 첨자에 대한 수렴성이 다른 수렴성을 보장해 주지도 않는다. 다음 그림은 수열 $\{ (-1)^m / n \}$의 값을 공간에 그린 것이다.

$n$을 고정해서 이 수열을 $m$에 대한 수열로 보면 항상 발산(진동)한다. 이것은 위 그림을 약간 돌려서 본 아래 그림에서도 확인이 가능하다.

반면, $m$을 고정해서 $n$에 대한 수열로 위 수열을 분석하면 수열의 값이 항상 $\pm 1/n$ 사이에 있으므로 $m$에 관계없이 항상 $0$으로 수렴한다. (아래 그림 참고)

그리고, $\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} \frac {(-1)^m} n = 0}$이다. 세 버전의 극한 계산결과가 같아지기 위한 조건을 알아보기로 하자. 극한 정의에 대한 기초지식이 없는 사람은 다음 글을 참고하기 바란다.

https://pkjung.tistory.com/164?category=41087

epsilon-delta; 극한의 정의

2. 다중 첨자 수열의 수렴조건

다중 첨자를 가진 수열에 대해 다음과 같은 사실이 알려져 있다.

$\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} a_{mn} = L}$($L$은 실수)이라 하자. 그러면 다음 주 명제는 서로 필요충분조건이다.

1. 유한개의 $m$을 제외하고 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_{mn}}$이 수렴한다.
2. $\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{mn} = L }$

증명: 2번이 성립한다면 $m$에 대한 수열 $\displaystyle{ \left\{ \lim_{n \to \infty} a_{mn} \right\} }$이 수렴해야 하므로 충분히 큰 $m$에 대해서는 $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{mn} }$이 실숫값을 가져야 한다. 즉, 1이 성립한다.

이제, 역으로 1이 성립한다고 하자. 그러면 충분히 큰 $m$에 대해 $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{mn} } = L_m$이 정의된다. 편의상 이 수열이 모든 자연수 $m$에 대해 정의된다고 해도 논리적으로 문제가 생기지 않는다. 이제, 양수 $\epsilon$이 정해져 있다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} a_{mn} = L}$이므로 적당한 자연수 $N$을 잡아서 다음이 성립하게 할 수 있다. \begin{equation} \label{lim1} n \geq N , m \geq N \quad \Longrightarrow \quad |a_{mn} - L| < \epsilon \end{equation}

한편, $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{mn} } = L_m$이므로 $m \ge N$인 자연수 $m$에 대해 적당한 자연수 $K_m \ge N$을 잡아 다음이 성립하게 할 수 있다. \begin{equation} \label{lim2} |a_{mK_m} - L_m| < \epsilon \end{equation}

그러면 (\ref{lim1}), (\ref{lim2})에 의해 $m \ge N$인 모든 $m$에 대해 다음 식이 성립한다. $$ | L_m - L | \leq |L_m - a_{mK_m} | + |a_{mK_m} - L| < 2 \epsilon$$ 즉, $m \to \infty$일 때 $L_m \to L$이다.

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비슷한 방법으로 다음 정리를 증명할 수 있다.

$\displaystyle{ \lim_{(m,n) \to \infty} a_{mn} = L}$($L$은 실수)이라 하자. 그러면 다음 주 명제는 서로 필요충분조건이다.

1. 유한개의 $n$을 제외하고 $\displaystyle{\lim_{m \to \infty} a_{mn}}$이 수렴한다.
2. $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{mn} = L }$

따라서, $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{mn} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{mn} = \lim_{(m,n) \to \infty } a_{mn}$$ 이 성립하기 위한 필요충분조건은 유한개의 $m$, $n$을 제외하고 다음 극한이 모두 얻어지는 것이다. $$ \lim_{n \to \infty} a_{mn}, \quad \lim_{m \to \infty} a_{mn}$$

앞서 확인하려던 지수법칙도 실수지수의 수렴성이 항상 보장되므로 마지막 스텝의 등호가 성립한다는 사실을 확인할 수 있다.