4차방정식의 해법

이 글은 4차방정식의 해를 구하는 방법을 소개한다. 3차방정식의 해법은 이 블로그의 다음 글을 참고하기 바란다.

https://pkjung.tistory.com/158?category=41087

3차방정식의 여러 가지 해법

 

3차방정식의 해법이 알려짐과 동시에 4차방정식의 해법은 카르다노의 제자 페라리(Lodovico Ferrari)에 의해 발견되었다. 그의 해법은 카르다노의 Ars Magna에 수록된다.

1. 해법의 기초

편의상 4차방정식을 $$x^4 + bx^3 +cx^2 +dx +e =0$$이라 하자. 페라리의 해법의 핵심은 다음과 같다.

• 모든 사차방정식은 $\left(x^2 + \dfrac b 2 x + K \right)^2 = (Lx+M)^2$ ($K$, $L$, $M$은 상수)으로 고쳐쓸 수 있다.
• 2, 3차방정식의 해법

2차 방정식의 해법은 학교에서 배우고, 3차방정식의 해법은 지난 게시글에서 확인할 수 있으므로 두 번째 내용은 알고 있다. 이제, 첫 번째 내용을 확인해보자.

4차방정식의 네 근을 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$라 하면 4차벙정식은 $$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)=0$$ 이라 할 수 있다. 이 식의 일차식을 임의로 둘씩 짝지어서 전개를 해 볼수가 있다. 편의상 $a_1$과 $a_2$, $a_3$와 $a_4$를 품은 일차식을 전개했다고 하면 위 식의 좌변은 다음과 같은 식이 된다. \begin{equation} \label{eqt1} (x^2 -(a_1 + a_2)x + a_1 a_2 ) (x^2 -(a_3 + a_4 ) x + a_3 a_4 ) \end{equation} 이제, \begin{align} f(x) &= x^2 -(a_1 +a_2 ) x + a_1 a_2 \\ g(x) &= x^2 - (a_3 +a_4 )x + a_3 a_4 \end{align} 라고 하면 \begin{align} f(x) &= \frac {f(x)+g(x)} 2 + \frac {f(x)-g(x)} 2 \\ g(x) &= \frac {f(x)+g(x)} 2 - \frac {f(x)-g(x)} 2 \end{align} 이므로 식 (\ref{eqt1})은 다음 식과 같아진다.($K$, $L$, $M$은 상수) \begin{align} \left( \frac{f(x)+g(x)} 2 \right)^2 &- \left( \frac{f(x)-g(x)} 2 \right)^2 \\ &= \left( x^2 + \frac b 2 x + K \right)^2 - (Lx+M)^2 \label{eqt2} \end{align}

4차방정식의 해법

이제, 사차방정식 $x^4 + bx^3 +cx^2 +dx +e=0$을 풀어보자. 식 (\ref{eqt2})을 만들면 사실상 모든 작업이 끝난다.

우선 2차 이하의 항들을 이항하면 $$x^4 + bx^3 =-cx^2 -dx -e$$ 가 되고, 양변에 $\dfrac 1 4 b^2 x^2$을 더하면 $$\left( x^2 + \frac 1 2 bx \right)^2 = \left( \frac 1 4 b^2 -c \right)x^2 -dx-e$$ 이제, 좌변이 상수 $y$ 하나가 추가된 완전제곱식이 되도록 양변에 $\displaystyle{ 2 \left( x^2 + \frac 1 2 bx \right) y +y^2 }$을 더하면 \begin{align} \left( x^2 + \frac 1 2 bx \right)^2 &+ 2 \left( x^2 + \frac 1 2 bx \right) y +y^2 \\ &= \left( \frac 1 4 b^2 -c +2y \right)x^2 +(by-d)x +y^2-e \label{eqt3} \end{align} 식 (\ref{eqt3})이 완전제곱식이 되도록 $y$를 잡아야 하므로 판별식이 0이 되도록 한다. 즉, \begin{equation} \label{eqt4} (by-d)^2 -(b^2 -4c+8y)(y^2 -e) = 0 \end{equation} 이 되어야 한다. 식 (\ref{eqt4})은 3차방정식이므로 3차방정식의 해법을 활용하면 적절한 $y$를 얻어낼 수 있다. 그러면 우리가 풀어야 할 4차방정식은 다음과 같은 모양이 된다. ($y$, $A$, $B$는 상수) $$\left( x^2 +\frac 1 2 bx + y \right)^2 = (Ax+B)^2 $$ 이 방정식은 다시 두 이차방정식 $$ x^2 + \frac 1 2 bx + y = \pm(Ax+B)$$ 로 고쳐쓸 수 있으므로 이 식에서 4차방정식의 근을 모두 구해낼 수 있다.