이 글에서는 산술기하부등식을 증명하는 다양한 방법 중 중3수학 이전의 내용만으로 증명 가능한 방법을 소개한다.
수학에서 법칙처럼 사용되는 여러 절대부등식 중 산술기하부등식은 수학사상 두번째로 등장한 부등식이다.[1] 유클리드의 원론에 처음 등장하는데, 두 양수 $a$, $b$에 대해 $\dfrac {a+b} 2 \geq \sqrt {ab}$임을 기하학적으로 증명해 놓았다. (아래 그림 참고)
[1] 처음 등장한 부등식은 삼각부등식이다.
이 부등식은 양변을 제곱하면 다음과 같은 식으로 변형이 되는데, $$ \left( \frac{a+b} 2 \right)^2 \ge ab $$ 이 식은 둘레길이가 같은 직사각형은 정사각형일 때가 가장 넓다는 이야기를 하고 있다. 아래 그림에서 파란색 정사각형과 다른 직사각형의 공통이 아닌 부분을 비교하면 금방 확인이 가능하다.
두 양수의 산술기하평균을 확장해서 양수가 여러개일 때도 동일한 관계식이 성립한다는 사실이 알려져 있다. $$ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n} n \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n } $$
이 식도 양변을 $n$제곱해서 모서리 길이의 합이 일정한 $n$차원 입방체의 부피가 정다면체일때 최대라는 것으로 해석이 가능하다. $$ \left( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n} n \right)^n \geq {a_1 a_2 \cdots a_n } $$
이 부등식의 증명은 여러 방법이 있다. Jensen 부등식을 이용하는 것이 가장 간단하지만, 이 부등식은 대학교 과정에서나 볼 수 있는 것이다. 위키피디아에서는 귀납법을 이용한 증명도 소개가 되어 있다. 다음 링크로 가보면 여러 형태의 증명을 볼 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means
여기서 소개하는 증명법은 위 링크의 증명 중 어느 하나와 많이 비슷한데, Charles Walmsley의 An Introductory Course of Mathematical Analysis(Cambridge University Press, 1926)에 수록된 내용이 더 직관적이기 때문에 따로 소개하기로 한다.
증명
Introduction
본격적인 증명에 앞서, 이차함수의 성질 하나를 관찰해 보자. 합이 $a+b$로 일정한 두 수의 곱을 표현하는 이차식은 $f(x)=x(a+b-x)$인데, 이 이차식은 $f(a)=f(b)=ab$를 만족하는 위로 볼록한 포물선이다.
따라서, $a$, $b$ 사이의 임의의 $t$에 대해 $$t(a+b-t) > ab$$ 가 성립하고, 특별히 $t=\frac{a+b} 2$일 때 두 수의 산술기하평균 부등식이 된다. 이 사실은 아래 증명에서 특별한 설명 없이 사용하기로 한다.
Main Proof
$n$개의 양수를 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$이라 하고, $$M = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n} n$$ 이라 하자. 그러면 우리가 증명해야 할 식은 $$M^n \geq a_1 a_2 \cdots a_n$$ 이 된다. $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$이면 모든 수가 $M$과 같아지므로 증명할 것이 없다. $n$개의 수 중 서로 다른 수가 있다면 이 $n$개의 수 중 적어도 하나는 $M$보다 크고 또한 적어도 하나는 $M$보다 작아야 한다.(이것이 중요한 것이지만 쉽게 확인 가능하니 설명을 생략한다.) 따라서, $a_1 < M$, $a_2 > M$이라고 가정할 수 있다. 그러면 $M$이 두 수 $a_1$, $a_2$ 사이에 있는 수이므로 $$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \leq M(a_1 + a_2 -M)a_3 a_4 \cdots a_n$$ 이제, $n-1$개의 수 $a_1+a_2 -M$, $a_3$, $\cdots$, $a_n$가 모두 $M$과 같다면 증명이 끝나고, 그렇지 않다면 마찬가지의 방법으로 $M$보다 작은 수와 큰 수가 적어도 하나씩 존재하게 되는데, 이 두 수를 편의 상 $a_2'$, $a_3'$($a_2' < M < a_3'$)이라 하고 나머지수들을 $a_4'$, $a_5'$, $\cdots$, $a_n'$이라 하면 $$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \leq M^2(a_2'+a_3'-M)a_4' a_5' \cdots a_n'$$ 이라는 식을 얻을 수 있다. 먼저 주어진 숫자가 유한개이므로 이 과정을 계속하면 원하는 부등식이 얻어진다.