일반적으로, $\sum_{i=0}^\infty a_n =A$이고 $\sum_{i=1}^\infty b_n =B$일 때 $$ \lim_{n \to \infty} (a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) (b_0 + b_1 + b_2 + \cdots + b_n ) $$ 의 값은 $AB$로 수렴합니다. 이것은 수열의 극한의 성질을 약간 사용하면 쉽게 증명이 됩니다.
그런데, $(a_0 + a_1 + a_2 + \cdots ) (b_0 + b_1 + b_2 + \cdots )$의 수렴성을 따지는 것은 다른 문제가 됩니다. 무한급수끼리의 곱을 어떻게 계산해줘야 하는지부터 문제가 발생하죠. 무한급수는 더하는 순서에 따라 다른 결과가 나오는 일이 많기 때문에 이 문제는 사소한 것이 아닙니다. 위에서처럼 부분합끼리의 곱으로 무한급수의 곱을 정의하면 자연스럽게 수렴성이 보장되기는 합니다만, 무한급수를 다음과 같이 구획을 나누고 같은 칸에 있는것들을 순서로 모아 더하면 어떻게 될까요?
그림에서처럼 대각선방향으로 차례차례 더해가는 것을 코시곱(Cauchy Product)이라 합니다. 그림에서 $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$을 말하고, 코시곱을 형식적으로 써보면 다음과 같습니다. $$ \left( \sum_{i=0}^\infty a_i \right) \cdot \left( \sum_{i=0}^\infty b_i \right) = \sum_{i=0}^\infty c_i$$ 이 계산은 실제로 우리가 두 다항식의 곱을 차수별로 정리하면서 계산할 때 이용하는 방법이기 때문에 문제를 복잡하게 만들려고 일부러 만들어낸 식은 아닙니다. 이렇게 더해갔을 때 $\sum_{i=0}^\infty c_i$는 수렴이라도 할 수 있을까요? 여태까지의 경험에서 우리는 그러지 않을 것이라는 것을 예상할 수 있습니다.
그럼 어떤 예가 있을까요?
급수의 재배열에 대한 수렴성으로 많이 이용되는 것이 교대급수이고, 발산하는 급수 중 가장 간단한 것이 $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$이라는 것을 감안하면 누구나 다음 수열을 떠올릴 것입니다: $$ a_n = b_n = \frac {(-1)^n} {\sqrt{n+1}}$$
그러면 코시곱의 성분 $c_n$은 $$ c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \frac {(-1)^{n-k}} {\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac 1 {\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1}} $$ 이 되고, $k+1 \leq n+1$, $n-k+1 \leq n+1$이므로 $$ |c_n | = \sum_{k=0^n} \frac 1 {\sqrt{k+1} \sqrt{n-k+1}} \geq \sum_{k=0}^n \frac 1 {\sqrt{n+1} \sqrt{n+1}} = (n+1) \times \frac 1 {n+1} = 1$$ 임을 알 수 있습니다. 즉, $n \to \infty$일 때 $c_n \not \to 0$입니다. 따라서, 예상했던대로 코시곱은 수렴하지 않습니다.
많이 사용하는 계산방식에서 문제가 생기는 것은 심각한 일입니다. 하지만, 수렴하는 두 급수 $\sum_{i=0}^\infty a_n $이나 $\sum_{i=1}^\infty b_n $ 중 하나라도 절대수렴하면 $$ \sum_{i=0}^\infty c_i = \left( \sum_{i=0}^\infty a_i \right) \cdot \left( \sum_{i=0}^\infty b_i \right) $$ 이 됩니다. 이것을 (해석학의) 메르텐스 정리(Mertens' Theorem)라고 합니다. 두 급수 모두 절대수렴할 때는 절대수렴급수의 성질에 의해 급수 계산 순서에 관계없이 같은 값으로 수렴하므로 이 정리의 가치는 단 하나만 절대수렴할 때에발생하는 결과에 있습니다.
증명을 위해 급수 $\sum_{i=0}^\infty a_i$가 절대수렴한다고 가정하겠습니다. $A_n = \sum_{i=0}^n a_i$, $B_n = \sum_{i=0}^n b_i$, $C_n = \sum_{i=0}^n c_i$라고 기호도 약속합시다. 코시곱을 잘 쓰면 되는데, 앞에서 대각선으로 더했던 식을 다음과 같이 방식으로 더해보겠습니다. ($n=15$일 때를 예로 들어 그렸습니다.)
이렇게 더해가는 것을 식으로 쓰면 다음과 같습니다. $$C_n = \sum_{i=0}^n a_{n-i}B_i$$ 그러면 $$|C_n -AB | = \left\vert \sum_{i=0}^n a_{n-i}(B_i-B) + (A_n-A)B \right\vert \leq \sum_{i=0}^n |a_{n-i}||B_i -B| + |A_n-A||B|$$
절대수렴의 가정에 의해 $\sum_{i=0}^\infty |a_i| = K$라 하고 양수 $\epsilon$을 임의로 정합시다. 그러면 $B_n \to B$이므로 $$n \ge N \quad \Longrightarrow \quad |B_n -B | \leq \frac \epsilon {3(K+1)} $$ 이 성립하는 자연수 $N$을 정할 수 있습니다.
또한, $\sum_{i=0}^\infty a_n$이 수렴하므로 $a_n \to 0$라야 합니다. 그러면 직전에 잡은 $N$에 대해 $$ n \ge M \quad \Longrightarrow \quad |a_n| \leq \frac \epsilon { 3N \times \max \left\{1+ |B_i -B| \big\vert 0 \leq i \leq N-1 \right\} }$$ 을 만족하는 자연수 $M$을 정할 수 있습니다.
또한, $A_n \to A$이므로 $$n \ge L \quad \Longrightarrow \quad |A_n -A | \leq \frac \epsilon {3(|B|+1)} $$ 을 만족하는 자연수 $L$을 정할 수 있습니다.
이제, 이 사실을 모두 모아 정리하면 $n \geq \max\{ L, N+M+1 \}$일 때 \begin{align*} |C_n -AB| & \leq \sum_{i=0}^n |a_{n-i}||B_i -B| + |A_n-A||B| \\ & = \sum_{i=0}^{N-1} |a_{n-i}||B_i -B| + \sum_{i=N}^{n} |a_{n-i}||B_i -B| + |A_n-A||B| \\ & \leq \frac \epsilon { 3N \times \max \left\{1+ |B_i -B| \big\vert 0 \leq i \leq N-1 \right\} } \sum_{i=0}^{N-1} |B_i -B| + \frac \epsilon {3(K+1)} \sum_{i=N}^{n} |a_{n-i}| + \frac \epsilon 3 \\ & \leq \frac \epsilon 3 + \frac \epsilon 3 + \frac \epsilon 3 = \epsilon \end{align*} 이 되므로 $C_n \to AB$임을 확인할 수 있습니다.