복소함수를 시각화하려는 노력은 컴퓨터의 발달과 함께 많은 성과를 얻어서 2012년에는 다음과 같은 책도 나옵니다.
이 책에서는 몇 가지 유용한 방법을 제시하고 있고, 그래프 해석법도 나와 있습니다. 한 번 읽어보시면 좋을 듯 합니다. 이 책에 있는 몇 가지 방법 중에서 복소수의 편각(argument)을 같은 방향의 hue 색상으로, 크기를 정수값을 기준으로 등고선식으로 표현하는 방법은 코딩하기도 쉽기 때문에 많은 수학패키지에서 소개되고 있습니다. 여기서는 CindyJS project에서 제공하는 예제를 통해 복소수의 테일러급수가 어떤 방식으로 수렴하는지를 확인해보기로 합니다. 이번에도 그림보다는 동영상을 통해 확인하도록 합니다.
위 화면은 반으로 분리되어 왼쪽은 함수 $f(z) = \dfrac 1 {z^2 +1}$의 그래프가 그려져 있고, 오른쪽편은 이 함수에 대한 테일러급수를 빨간 점을 기준으로 그린 것입니다. 더한 항의 수가 많을 수록 오른쪽 그림의 빨간 점 부근이 왼쪽편과 같은 모양이 되어감을 확인할 수 있습니다. 빨간 점의 위치를 바꿔도 그 점에서 어느 정도 가까운 곳에서는 같은 현상이 생김을 확인할 수 있습니다. 단 두 점($z= \pm i$)을 빼고요.