교대급수의 증명 아이디어 하나를 시각화 해 보았습니다. CindyJS 프로젝트 홈페이지에 있는 예제를 좀 다듬어서 만들었습니다.
위 급수는 절대수렴은 하지 않지만 그 급수 자체는 수렴하는 교대급수입니다. 이런 특징을 가지는 교대급수는 양수항들만 모아 더하거나 음수항만 모아 더했을 때 모두 발산합니다. 그러면서 생기는 성질이, 항을 재배치해서 더하면 원하는 어떤 수로든 수렴하도록 만들 수 있습니다.
증명 아이디어는 간단합니다.
수렴시키려는 값이 $w$가 정해지면 양수항을 차례대로 그 값보다 커질 때까지 더하고, 커진 직후부터는 음수항을 더해 총합이 $w$보다 작아질 때까지 더하고, 작아진 직후부터는 다시 양수항을 차례대로 더하고... 이것을 반복하면 $w$로 수렴하는 새로운 급수가 얻어집니다.
이 설명은 다음 동영상을 통해 더 쉽게 이해할 수 있을 것입니다. 화면이 크면 더 많은 정보를 볼 수 있습니다.