경우의 수 문제에서 많이 알고 있지만 계산이 힘든 문제 중 하나가 같은 것이 섞여있는 원순열입니다. 일렬로 나열하는 경우의 수는 잘 알려져 있죠. 같은 것이 $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\cdots$, $n_k$개 있을 때, 이것을 일렬로 나열하는 방법은 다음과 같습니다. $$ \left( \matrix{n \\ n_1, n_2 , \cdots, n_k } \right) = \frac {n!} {n_1 ! n_2 ! \cdots n_k!}$$ 여기서 $n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k$입니다. 대부분의 고등학교 수학책에 수록된 그 공식입니다. 왼편의 기호는 다음 공식에 사용하기 위해 약속해 둔 것입니다.
그런데, 이것이 일렬로 배열하는 것이 아니라 원형으로 배열하는 것이라면 잘 아시다시피 이야기가 복잡해집니다. 하지만, 이 문제는 일찌감치 수학자들에 의해 해결이 되었습니다. 수학자들이 먼저 해결한 문제는 이렇게 구체적인 모델이 아니어서 응용이 어려웠는데, 1956년 Hazel Perfect는 그간의 결과를 종합해서 우리가 궁금해 하는 정확한 공식을 The Mathematical Gazette에 Concerning Arrangements in a Circle이라는 이름의 논문으로 발표합니다.(Vol. 40, No. 331, Feb. 1956)
공식을 쓰기 위해 우선 $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_m = \gcd(n_1, n_2 , \cdots, n_k)$라고 하겠습니다. 그러면 같은 것이 $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\cdots$, $n_k$개 있을 때, 이것을 원형으로 나열하는 방법은 다음과 같습니다. $$\frac 1 n \sum_{i=1}^m d_i \sum_{j=i}^m \left( \matrix{\frac n {d_j} \\ \frac {n_1}{d_j} , \frac{n_2}{d_j}, \cdots \frac{n_k}{d_j}} \right) \mu(d_i, d_j)$$
위 식의 $\mu(a,b)$는 뫼비우스 함수로, 다음과 같이 계산합니다. $$\mu(a,b) = \cases{ 1 & if $a=b$ \\ \displaystyle{-\sum_{\substack{a \leq k < b \\ a \vert k, k \vert b}}{\mu(a,k)}} & otherwise }$$
예를 들어, 위 그림처럼 빨간 공 2개와 파란 공 2개, 연두색 공 2개를 원형으로 나열하는 방법은 $n=6$, $n_1 = n_2 = n_3 =2$, $d_1 =1$, $d_2 =2$로 다음과 같이 계산됩니다. \begin{align*} \frac 1 6 & \sum_{i=1}^2 d_i \sum_{j=i}^2 \left( \matrix{\frac 6 {d_j} \\ \frac 2 {d_j} , \frac 2 {d_j}, \frac 2 {d_j}} \right) \mu(d_i, d_j) \\ & = \frac 1 6 \sum_{j=1}^2 \left( \matrix{\frac 6 {d_j} \\ \frac 2 {d_j} , \frac 2 {d_j}, \frac 2 {d_j}} \right) \mu(1, d_j) + \frac 2 6 \sum_{j=2}^2 \left( \matrix{\frac 6 {d_j} \\ \frac 2 {d_j} , \frac 2 {d_j}, \frac 2 {d_j}} \right) \mu(2, d_j) \\ & = \frac 1 6 \times \left\{ \left( \matrix{ 6 \\ 2, 2, 2} \right) \mu(1,1) + \left( \matrix{ 3 \\ 1, 1, 1} \right) \mu(1,2) \right\} + \frac 2 6 \left( \matrix{ 3 \\ 1, 1, 1} \right) \mu(2,2) \\ & = \frac 1 6 \times \left\{ 90 \times 1 + 6 \times(-1) \right\} + \frac 2 6 \times 6 \times 1 = 16 \end{align*}