리만제타함수와 소수와의 연관성을 알려주는 등식을 처음 발견한 사람은 오일러입니다. 여기서 소개할 등식은 다음과 같습니다. \begin{equation} \label{main} 1 + \frac 1 {2^n} + \frac 1 {3^n} + \frac 1 {4^n} + \frac 1 {5^n} + \cdots = \frac 1 {\displaystyle{\left( 1- \frac 1 {2^n} \right) \left( 1- \frac 1 {3^n} \right) \left( 1- \frac 1 {5^n} \right) \cdots}} \end{equation} 우변의 곱은 소수들의 거듭제곱으로만 이루어진 것입니다. 이 등식은 오일러가 1737년 St. Petersburg Academy에서 발표했고, 1744는 저널에 실렸습니다. 1859년 Über die Anzahl der Primzahlen에서 리만이 오일러가 다룬 급수를 복소수로 확장하기까지는 참 많은 시간이 필요했습니다. 여기서는 오일러가 처음 생각한 급수 수준에서 제타함수를 바라봅니다. 궂이 이 제약을 두는 이유는 $n$이 복소수일 때는 성립하지 않는 등식이기 때문입니다.
오일러가 활동을 하던 시기에는 수학적 엄밀성이 현대수학만큼 강조되지 않던 시절입니다. 오일러가 바젤 문제(Basel Problem)를 풀 때만 해도 그가 사용한 무한곱의 수렴성에 심각한 문제제기를 한 수학자는 없었던듯 합니다. 실제로, 오일러가 Basel Problem을 해결한 지 100년이나 지난 후에 Weierstrass가 오일러의 풀이의 타당성을 논리적으로 입증을 했습니다. 오일러의 Basel Problem 및 유사 급수의 풀이는 다음 링크를 따라가면 확인할 수 있습니다.
http://pkjung.tistory.com/entry/Basel-Problem?category=41087
오일러는 참 자유롭게 수학을 했다는 생각이 듭니다.
다음 사진은 제타함수의 다른 표현법을 설명한 오일러 논문의 표지입니다.
다음 링크를 따라가면 실제 파일을 보실 수 있습니다.
http://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E072.pdf
증명
위 논문에 있는 내용이긴 합니다만, 증명과정을 소개하겠습니다. 정의에 따라 \begin{equation} \label{1} \zeta(n) = 1 + \frac 1 {2^n} + \frac 1 {3^n} + \frac 1 {4^n} + \frac 1 {5^n} + \frac 1 {6^n} + \cdots \end{equation} 인데, (\ref{1})의 양변에 $1/{2^n}$을 곱하면 \begin{equation} \label{2} \frac 1 {2^n} \zeta(n) = \frac 1 {2^n} + \frac 1 {4^n} + \frac 1 {6^n} + \frac 1 {8^n} + \frac 1 {10^n} + \cdots \end{equation} 가 됩니다. 이제, (\ref{1})에서 (\ref{2})를 빼서 정리하면 \begin{equation} \label{3} \left( 1 - \frac 1 {2^n} \right) \zeta(n) = 1+ \frac 1 {3^n} + \frac 1 {5^n} + \frac 1 {7^n} + \frac 1 {9^n} + \cdots \end{equation} 이 됩니다. 분모에 $2$의 배수가 있던 부분이 사라진다는 것을 확인할 수 있습니다. 지금 만들어진 식의 양변에 $1/{3^n}$을 곱하면 \begin{equation} \label{4} \frac 1 {3^n} \left( 1 - \frac 1 {2^n} \right) \zeta(n) = \frac 1 {3^n} + \frac 1 {9^n} + \frac 1 {15^n} + \frac 1 {21^n} + \frac 1 {27^n} + \cdots \end{equation} 이므로 (\ref{3})에서 (\ref{4})를 빼면 \begin{equation} \label{5} \left( 1 - \frac 1 {3^n} \right) \left( 1- \frac 1 {2^n} \right) \zeta(n) = 1 + \frac 1 {5^n} + \frac 1 {7^n} + \frac 1 {11^n} + \cdots \end{equation} 와 같이 남아있던 항들 중 $3$의 배수를 분모에 포함하는 항들만 사라지는 것을 확인할 수 있습니다. 이 과정을 모든 소수에 대해 반복하면 다음과 같은 등식을 얻을 수 있습니다. \begin{equation} \label{6} \cdots \left( 1- \frac 1 {5^n} \right) \left( 1- \frac 1 {3^n} \right) \left( 1- \frac 1 {2^n} \right) \zeta(n) = 1 \end{equation} 이것을 정리하면 (\ref{1})의 식은 다음과 같이도 쓸 수 있음을 알 수 있습니다. \begin{equation} \label{7} \zeta(n) = \frac 1 {\displaystyle{\left( 1- \frac 1 {2^n} \right) \left( 1- \frac 1 {3^n} \right) \left( 1- \frac 1 {5^n} \right) \cdots}} \end{equation}
등식의 응용
오일러는 위 논문에서 여기서 소개한 등식 말고도 몇 개의 등식을 더 증명하고 있습니다. $\pi$의 값을 곱으로 표현하는 몇 가지 등식도 보이고, 마지막에는 소수의 역수의 합이 발산한다는 것도 증명하고 있습니다.
이 글에서 소개된 오일러의 등식은 다른 몇 가지 사실을 설명할 때도 사용할 수 있습니다. 우선, (\ref{main})의 식을 $n=1$일 때 관찰해보면 좌변이 무한대로 발산함을 알 수 있는데, 이 사실을 이용해서 우변의 분모의 곱의 횟수가 무한히 많아야 함을 알 수 있습니다. 우변의 분모의 곱은 소수의 개수만큼 이루어지므로 이것을 통해 소수는 무한개임을 알아낼 수 있습니다.
이 식을 확률론적으로 해석하는 사람도 있습니다. $1$개의 자연수를 임의로 선택했을 때 그 수가 어떤 자연수 $p$의 배수가 될 확률은 $1/p$입니다. 그러면 $n$개의 자연수를 임의로 선택했을 때 그 수가 $p$의 배수가 될 확률은 $1/p^n$입니다. 따라서, 임의로 선택한 $n$개의 자연수 중 적어도 하나가 $p$로 나눠지지 않을 확률은 $1- (1/p)^n$이겠네요. 이것을 확장해서 임의로 선택된 $n$개의 자연수의 최대공약수가 $1$이 될 확률은 다음과 같이 계산됩니다. $$ \left( 1- \frac 1 {2^n} \right) \left( 1- \frac 1 {3^n} \right) \left( 1- \frac 1 {5^n} \right) \cdots = \frac 1 {\zeta(n)}$$