구면코사인법칙

레기오몬타누스는 수학이 암흑기를 지나서 본격적으로 발전을 시작하려고 할 때 쯤에 활동을 한 몇 안되는 수학자 중 한 사람입니다. 그는 삼각법을 천문학에서 분리해서 순수 수학적인 입장에서 연구를 하고 정리를 한 업적이 있죠. 레기오몬타누스 이전에도 삼각법은 많이 연구되어 오래전에 알려진 결과들이 많았지만, 레기오몬타누스는 “구면코사인법칙”을 발견했습니다.

구면코사인법칙을 소개하기 전에 약간의 셋업을 먼저 하겠습니다. 아래 그림은 중심이 $\mathrm O$, 반지름이 $1$인 구면이고 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$, $\mathrm C$는 구면 위의 점입니다.

그리고, 구면 위에 세 점을 지나는 세 대원(중심이 $\mathrm O$인 원)을 그렸습니다. 이렇게 만들어진 구면삼각형 $\mathrm{ABC}$에 평면기하를 배우던 때와 같이 호 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$의 길이를 각각 $c$, $a$, $b$라 하기로 약속하고 세 내각의 크기를 각 점의 이름을 따라 각각 $A$, $B$, $C$라 하면 다음과 같은 등식이 성립합니다.: $$\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$$ 위 등식을 “구면코사인법칙”이라 합니다. 이 등식은 점 $\mathrm C$를 북극점으로 잡으면 지구상의 두 지점의 구면 거리를 구하는 데 사용될 수 있습니다. 위 식을 지구와 같이 반지름이 1이 아닌 구(반지름을 $R$이라 하자.)에도 사용하려면 호도법으로 표현된 세 각 $a$, $b$, $c$를 정의에 따라 각각 $a/R$, $b/R$, $c/R$로 고쳐쓰면 됩니다.

 

특히, 위 코사인 법칙은 각 $\mathrm C$가 $90^\circ$인 경우 $$\cos c = \cos a \cos b$$ 로 쓸 수 있는데, 이것을 “구면피타고라스 정리”라 합니다.

위 식과 피타고라스 정리의 연관성을 알아보기 위해서 위 식을 $a/R$, $b/R$, $c/R$이라 고쳐써 보겠습니다. 그러고 양 변을 제곱하면 $$\cos^2 \frac c R = \cos^2 \frac a R \cos^2 \frac b R$$ 이 되고 $\cos^2 \theta = 1- \sin^2 \theta$이므로 $$1- \sin^2 \frac c R = 1- \sin^2 \frac a R - \sin^2 \frac b R + \sin^2 \frac a R \sin^2 \frac b R$$ 즉, $$\sin^2 \frac c R = \sin^2 \frac a R + \sin^2 \frac b R - \sin^2 \frac a R \sin^2 \frac b R$$ 이 됩니다. 이제 양변을 $1/R^2$으로 나누고 $R \to \infty$라 하면 피타고라스 정리가 유도됩니다. 구의 반지름이 세 변의 길이에 비해 아주 크다고 하면 구면을 평면처럼 볼 수 있기 때문에 당연한 결과입니다.