페르마의 2-제곱수 정리
아래 그림과 같이 자연수 중에는 제곱수 두 개의 합으로 나타낼 수 있는 것이 있습니다.
페르마는 1640년 그의 친구 메르센느(Mersenne)에게 보낸 편지에다가 다음과 같은 정리를 써서 보냅니다.
위 정리는 1754년 오일러에 의해 처음으로 증명됩니다. 이후, 여러 수학자들에 의해 다양한 방법으로 증명이 됩니다. 그 중 비교적 간결한 방법 두 가지는 다음 책에 실려 있습니다.
이 정리가 수학자들의 흥미를 끌었던 이유는 제곱수의 합은 유클리드 공간에서 두 점 사이의 거리로 해석이 된다는 기하학적인 의미와 복소수와 그 켤레의 곱이 제곱수들의 합이 된다는 대수적인 의미를 동시에 가지기 때문에 여러 직관을 사용할 수 있는 재미가 있었기 때문입니다. 실제로, 이 정리의 증명의 일부가 이 개념을 사용하고 있습니다.
오일러의 증명 이후 이 결과는 더 연구되어 1770년에는 라그랑지가 다음 정리를 증명합니다.(라그랑지의 4-제곱수 정리)
이 정리의 증명은 발표 직후 오일러가 단순한 버전으로 향상을 시켰습니다. 증명은 모든 소수가 네 개 이하의 제곱수의 합으로 표현된다는 것을 증명한 후, 아래의 오일러의 네제곱수 항등식과 산술의 기본정리를 조합해서 이루어집니다. $$\begin{align*} (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})&(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\ &= (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2} + (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2} \\ &+ (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2} + (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2} \end{align*}$$ 끔찍하게 보이는 위 오일러의 항등식은 해밀턴이 사원수를 발견하고난 후에는 사원수내에서 성립하는 단순한 연산법칙이 됩니다. 라그랑지의 4-제곱수 정리의 증명 또한 위에 언급한 책에서 확인할 수 있습니다.