미분기하는 뉴턴과 라이프니츠가 만든 미적분학의 토대 위에서 곡선, 곡면, 공간의 성질을 다루는 수학의 한 분야라고 정리할 수 있습니다. 19세기부터 현재까지 수학의 중요한 영역이 되고 있죠.
미적분학이 발생하기 전
Frisius의 제자인 메르카토르(Mercator, 1512-1594)는 stereographic projection을 연구하여 지구의 일부를 평면지도로 제작합니다. stereographic projection이란 다음 그림과 같이 구 위의 점을 평면에 일대일대응시켜서 구면을 표현하는 방법을 말합니다.
참고로, 메르카토르는 지도제작 과정에서 Mercator projection이라는 아이디어를 사용했습니다. 위 그림과는 조금 다릅니다. 메르카토르는 자신이 만든 지도에 아틀라스(atlas)라는 이름을 붙였고, 이 아틀라스라는 단어는 메르카도르의 아이디어를 그대로 수학적으로 정의하여 요즘도 사용되고 있습니다.
물리학에서는 케플러가 행성궤도의 측정결과를 분석해 그 궤도가 타원임을 알아내고, 이 과정에서 공간을 지나는 곡선의 휘어짐에 관련된 수학이 점점 필요해지게 됩니다. 이 시기의 기하학은 이미 곡선의 접선은 물론, 아래 그림과 같이 구면의 경도선과 일정한 각도를 유지하는 곡선(spherical loxodrome)을 찾는 문제를 연구하고 있었습니다.
이 문제는 데카르트가 1637년 "기하학"을 발표하면서 극적인 해결법이 보이기 시작합니다. "모든 유클리드 기하학의 문제는 두 점 사이의 거리에 대한 문제로 귀결된다"는 철학에 의해 공리를 토대로 차근차근 쌓아온 고전기하는 해석기하에 순식간에 밀려나게 됩니다. 복잡한 모든 기하학의 문제는 실수와 그 함수의 문제로 대체되어 버렸습니다. 그리고, 이 분위기를 타서 뉴튼과 라이프니츠는 독립적으로 미적분학을 만들어내게 되고, 잠시 기하학 문제를 테일러급수와 매클로린 급수가 감당합니다.
미분기하학의 시작
데카르트와 케플러가 곡선을 원으로 근사하던 것과 호이겐스의 빛과 파동해석에 영감을 받아 라이프니츠는 1686년 곡선의 곡률을 정의합니다. 그가 정의한 방법은 (좀 더 설명이 필요합니다만) 아래 그림처럼 기준점에서만 곡선과 만나는 원 중에서 가장 큰 것의 반지름을 \(r\)이라 할 때, 그 \(1/r\)을 그 점에서의 곡률이라 정의했습니다.
1600년대와 1700년대에는 신기한 성질을 가지는 수많은 곡선이 발견되었던 시기입니다. 수학자들은 이 곡선들을 세밀히 관찰하여 특성을 완전히 해부내냈습니다. 그 과정에서 미분방정식도 급격히 발전하기 시작합니다.
1700년대 중반, 오일러는 곡면의 휘어짐을 측정하기 위한 도전을 시작합니다. 오일러는 다른 작업에서도 그러했듯이 이번에도 새로운 개념을 만드는 것이 아니라 라이프니츠의 곡률을 확장할 요량이었습니다. 곡면의 접평면을 생각할 수 있는 상황에 한정해서 보면 접평면에 수직인 방향은 정해져 있으므로 이 방향을 곡면의 수직방향이라고 정의합니다. 그러고 곡면의 한 점을 수직으로 통과하는 직선을 포함하는 평면으로 곡면을 자릅니다. 곡면이 구라면 다음과 같이 항상 대원이 되겠지만,
원기둥인 경우는 아래 그림과 같이 방향에 따라 다른 모양이 됩니다.
오일러는 이렇게 만들어지는 곡선들의 곡률들을 곡면의 관찰지점의 normail curvature들이라고 했습니다. 그러면 반지름이 \(r\)인 구는 normal curvature가 \(1/r\) 하나만 있게 되고, 밑면 반지름의 길이가 \(r\)인 원기둥의 normal curvature들은 \(0\)(단면이 직선일 때)에서 \(1/r\)(단면이 원일 때)까지의 모든 실숫값을 가지게 됩니다. 법선방향을 이용하면 음수곡률도 정의할 수 있었습니다. normal curvature의 최댓값과 최솟값을 principal (normal) curvature라 하고, 그 최댓값과 최솟값이 나오는 방향을 principal direction이라고 정의했습니다. 오일러는 normal curvature가 상수가 아닌 대부분의 경우 두 방향이 서로 수직이라는 사실을 증명했습니다.(1760) 그리고, 이 principal normal curvature로 곡면이 얼마나 휘어져 있는지를 측정했습니다. 이 아이디어는 Gaspard Monge에 의해 발전이 되었습니다.
1827년, 가우스는 오일러의 principal normal curvature를 곱해서 정의한 Gaussian curvature를 정의합니다. Gaussian curvature의 부호로 곡면이 그 지점에서 한 방향으로 휘어져 있는지 다른 방향으로 휘어져 있는지를 알 수 있습니다. 가우스가 정의한 이 곡률로는 평면과 원통형 곡면이 구분되지 않습니다. 둘 다 0이 되거든요. 가우스는 곡면과 평면이 늘이거나 줄이지 않고 서로 변형된다는 사실에 주목해서 이 곡률을 만들었습니다. 잘 알듯이 종이를 말아서 원통형을 만들 수 있고, 원통형을 방향을 잘 잡아서 잘라 펼치면 평면이 되기 때문이죠. 이렇게 늘이거나 줄이지 않고 변형될 수 있는 두 곡면을 isometric(같은거리? 거리보존? 등거리?)하다고 하는데, 원통과 평면은 앞서 설명한대로 (locally) isometric합니다. 가우스는 "Theorema Egregium"("Remarkable Theorem")에서 두 곡면이 isometric하다면 두 곡면은 같은 값의 gaussian curvature를 갖는다는 것을 증명합니다. 아래 그림은 gaussian curvature가 같은 두 개의 곡면을 isometric하게 변환하는 것을 보여줍니다.
이때까지는 유클리드 기하의 테두리를 벗어나지 못하고 있었습니다. 비유클리드 기하학부터는 다음 파트를 통해서 이야기를 연결하겠습니다.