삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 하고 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, 다음 부등식이 성립한다. 단, 등호는 정삼각형일 때 성립한다.
$$a^2 +b^2 +c^2 \leqslant 9R^2$$
이것은 벡터를 사용하면 쉽게 증명할 수 있다.
증명
삼각형 $\mathrm {ABC}$의 외심을 시점으로 하는 세 꼭짓점의 위치벡터를 각각 $\vec p$, $\vec q$, $\vec r$이라 하면 $|\vec p| = |\vec q| = |\vec r| = R$이고 $a= | \vec q - \vec r |$, $b = | \vec r - \vec p|$, $c = | \vec p - \vec q |$이므로
$$\begin{align*} a^2 +b^2 +c^2 &= |\vec q - \vec r |^2 + |\vec r - \vec p|^2 + |\vec p - \vec q|^2 \\ &= 6R^2 -2 (\vec p \cdot \vec q + \vec q \cdot \vec r + \vec r \cdot \vec p) \end{align*}$$
가 성립한다. 여기에서 항등식
$$|\vec p + \vec q + \vec r |^2 = 3R^2 +2(\vec p \cdot \vec q + \vec q \cdot \vec r + \vec r \cdot \vec p)$$
을 추가로 사용하면,
$$ a^2 +b^2 +c^2 = 9R^2 -| \vec p + \vec q + \vec r|^2 \leqslant 9R^2$$
임을 얻을 수 있다. 마지막 부등식에서 등호는 $\vec p + \vec q + \vec r = \vec 0$일 때, 즉, 무게중심이 외심일 때, 다시 말하면 정삼각형일 때 성립한다.