오랜 기간 학생들을 가르치면서 알게 된 것은 그들이 문제를 읽는 방식이 수학선생님들과는 다르다는 것입니다. 많은 학생들이 문제를 다 읽지도 않고 문제를 풀고 있었다는 것은 충격적인 일이었죠. 정독하는 습관은 문제 해결에 많은 도움이 되었습니다. 하지만, 괜찮은 대학에 진학하고서도 수학에 대해서는 유독 문과, 이과 학생들의 수준차가 많이 나는 것을 발견할 수 있었습니다. 이것은 기존에 배운 내용의 문제가 아니라 '수학'이라는 대상을 대하는 태도 자체에 뭔가 큰 차이가 있는 것 같았습니다. 그러던 중, 다음과 같은 논문을 알게 되었습니다.
Expert and Novice Approaches to Reading Mathematical Proofs
Matthew Inglis and Lara Alcock
Journal for Research in Mathematics Education
Vol. 43, No. 4 (July 2012), pp. 358-390
위 두 사람은 이 논문 말고도 학부생, 대학원생의 수학 이해도에 관련된 논문을 몇 편 더 썼습니다. 여기서는 위 논문과 관련된 내용을 정리해 두려고 합니다.
전문성이 들어가지 않은 일반적인 문학작품, 안내문 등을 읽을 때는 처음부터 끝까지 순차적으로 글을 읽어나갑니다. 다음 그림은 위 저자들이 논문을 위해 모집한 학생들을 가지고 모종의 테스트를 하기 전에 그들이 지시문을 어떻게 읽어가는지를 그들 시선의 이동을 캡처하여 만든 것입니다.
기대했듯이, 처음부터 끝까지 순서대로 읽어나가는군요. 이 과정에서는 학부생과 대학원생의 차이가 없었습니다.
그러고 수행한 실험은 학부, 대학원생 두 그룹에 어떤 수학명제의 증명을 보여준 것입니다. 내용은 다음과 같습니다. (아랫 부분은 좀 잘려나갔습니다.)
위 그림의 빨간 부분은 eye-tracking 시작할 때 캡처된 것이니 무시하시기 바랍니다. 증명을 보여주자, 두 그룹 모두 다음 동영상과 같은 패턴을 보이면서 글을 읽어가기 시작했습니다.
앞서 안내문을 읽던 것과는 다르게, 읽는 순서가 뒤죽박죽이 됩니다. 하지만, 잘 살펴보면 새로운 내용이 나왔을 때 그 내용을 앞서 진행한 이야기에 다시 연결시키는 작업임을 알 수 있습니다. 수학을 다루는 사람과 그렇지 않은 사람들의 차이가 여기 있다고 하네요.
위 내용을 잘 살펴보신다면 알 수 있겠지만, 증명 5번째 줄이 틀린 상태입니다. 결과를 먼저 보시죠.
먼저, 학부생의 결과입니다.
빨간 색으로 표시된 부분이 시선이 오래 멈춘 지역입니다. 다음은 대학원생의 결과입니다.
증명에 오류가 있는 부분에 집중해서 시선이 가 있었음을 알 수 있고, 그 이후의 내용은 거의 읽지 않았음을 알 수 있습니다.
이 실험에 참가했던 학부생들은 대부분 이 증명이 틀린 사실을 몰랐을 가능성이 높습니다.
학부생들은 증명을 읽을 때 전체 시간의 55% 정도를 수식을 보는 데 들였다고 합니다. 반면, 대학원생은 45% 정도의 시간을 보냈죠. 나머지 시간은 논리적인 연결을 파악하는 데 보냈다고 합니다.