수학문제들 중에는 문제의 원래 형태는 어려워 보이지만 좀 더 폭넓은 상황에서 봤을 때는 쉬워지는 문제들이 있다. 그래서, 때때로 수학자, 이론물리학자들은 문제 해결을 위해 종종 차원을 높이거나 문제를 포함하는 다변수함수를 만들어서 문제를 해결해 나가기도 한다.
파인만의 적분트릭도 이런 아이디어에서 출발한 것이다. 파인만은 그의 트릭에 대해 다음과 같은 인터뷰를 한 적이 있다. (아래 Reference [2])
선적분은 내가 배워본 적이 없는 적분 중 하나입니다. 나는 고등학교때 물리선생님인 Bader 선생님이 주신 수학책으로 다양한 적분 기법을 배웠습니다. 그 책에는 적분기호 안에 들어있는 변수를 어떻게 미분하는지에 대한 내용도 들어있었는데, 나중에 알고보니 이 내용은 대학교 과정에서도 그다지 다루지 않는 내용이었습니다. 그런데, 나는 그 적분법에 매료되어서 즐겨서 사용을 하곤 했습니다. 그래서 나는 적분을 독학으로 배웠음에도 나만의 독특한 적분법을 가지고 있었습니다.
내가 MIT나 프린스턴에 있을 때 친구들이 어려워 하는 적분문제들은 대부분 표준 교육과정에서 배운 내용으로 풀기 어려운 문제였습니다. 만약 그 문제가 선적분이나 급수전개로 풀 수 있는 문제였다면 이미 누군가가 답을 구했었겠죠. 그런 문제들은 제가 공부한 방식대로 적분 안의 변수를 미분해서 풀면 대부분 풀렸습니다. 덕분에 적분에 대해서는 학교에서 유명인사가 됐었죠. 단지 제가 공부한 적분법이 다른 친구와 달랐던 것 뿐이었고, 제가 그 문제를 접할 때 쯤에는 이미 기존 방법으로는 풀리지 않는 문제라는 것이 검증된 상황이었던 것 뿐인데 말이죠.
이렇게 파인만에 의해 알려진 적분법을 파인만의 트릭이라고 부르기도 한다. 이 트릭은 다음 사실을 기반으로 사용된다.
함수 $f(x, \alpha)$가 $\alpha$에 대해 미분가능하고 $\frac{\partial}{\partial \alpha} f$가 연속함수이면 다음과 같은 등식이 성립한다:
$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d \alpha} \int_a^b f(x , \alpha) \mathrm d x= \int_a^b \frac{\partial }{\partial \alpha} f(x, \alpha) \mathrm d x$$
이 정리에 대한 구체적인 증명은 UTM Series의 다음 책에서 찾을 수 있다.(아래 Reference [1])
Omar Hijab, Introduction to Calculus and Classical Analysis, 4th Ed, UTM Series, 2016, 224page
많은 예제가 알려져 있으나, 여기서는 간단한 버전으로 다음 적분을 해보기로 한다.
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \mathrm d x$$
이 적분은 독일의 수학자 디리끌레(Peter Dirichlet)의 이름을 따 디리끌레 적분(Dirichlet integral)이라고도 불리는 적분으로, 위키피디아의 다음 링크에서 이 적분을 수행하는 다양한 방법을 확인할 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
파인만의 트릭을 적용하려면 $\alpha$에 대해 미분했을 때 연속이면서 적분이 가능해지는 2변수 함수가 필요하다. 대부분의 경우, 분모의 $x$만 없어지면 어떻게든 적분이 가능해질 것이므로 간단히 시도할 수 있는 함수는 대표적으로 다음과 같은 함수들이 있다. ($h$는 어떤 미분가능한 함수)
$$\frac { \cos \alpha x}{x} \quad \text{or} \quad h(\alpha x ) \frac {\sin x} x$$
하지만, 처음 함수의 경우에는 $\sin \alpha x$가 얻어지므로 구간 $(0,\infty)$에서 적분이 불가능하다. 두 번째 꼴의 함수는 $\alpha$에 대해 미분한 경우 분모의 $x$를 없애고나서 남은 $\sin x$를 적분가능한 꼴로 바꿀 수 있는 기능을 가진 함수가 필요한데, 간단히 생각할 수 있는 함수는 밑이 1보다 작은 지수함수가 되겠다. 그래서, 다음과 같은 적분을 생각한다.
$$I(\alpha) = \int_0^\infty e^{- \alpha x} \frac{\sin x} x \mathrm d x$$
그러면 디리끌레 적분은 $I(0)$를 계산하는 것과 같아진다. 이제, 파인만의 트릭을 사용하면
$$\begin{align*} I'(\alpha) &= \int_0^\infty \frac {\partial}{\partial \alpha } \left( e^{-\alpha x} \frac {\sin x} x \right) \mathrm d x \\ &= - \int_0^\infty e^{- \alpha x} \sin x \mathrm d x \\ &= - \frac 1 {1+\alpha^2} \end{align*}$$
따라서,
$$I(\alpha) = - \arctan \alpha + C$$
$I(\alpha)$의 정의에 따라 $I(\infty)=0$이어야 하므로 $C=\frac \pi 2$. 그러므로,
$$\int_0^\infty \frac{\sin x} x \mathrm d x = I(0) = \frac \pi 2$$
Reference
- Omar Hijab, Introduction to Calculus and Classical Analysis, 4th Ed, UTM Series, 2016, 224page
- Hamza E. Alsamraee, Advanced Calculus Explored: With Applications in Physics, Chemistry, and Beyond, 2019, 103page