초/중학교 수학 문제에서 다음과 같은 문제를 접한 적이 있을 것이다.
아래 그림과 같이 두 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$와 직선 $l$이 있다. 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm P$ 중에 $\overline{\mathrm {AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$를 최소로 만드는 점을 찾아라.
이 문제의 해답은 잘 알고 있듯이 아래 그림처럼 점 $\mathrm B$를 직선 $l$에 대칭이동시킨 점 $\mathrm B'$과 점 $\mathrm A$를 연결한 직선 $\mathrm {AB}'$(핑크색 직선)이 직선 $l$과 만나는 점을 $\mathrm P$의 위치로 잡으면 된다.
이 때 나오는 중요한 결과로 직선 $\mathrm{AP}$와 $l$, 직선 $\mathrm{BP}$와 $l$이 이루는 각이 같아지고, 직선 위의 다른 점에서는 이런 현상이 생길 수 없다는 것을 삼각형의 성질을 이용해서 증명할 수 있다.
이 결과를 "동일한 매질 안을 이동하는 빛이 어떤 면과 반사될 때는 항상 입사각과 반사각이 같다"는 성질에 연결시켜 생각햐면 점 $\mathrm A$에서 핑크직선과 $l$의 교점을 겨냥해 빛을 쏴야만 그 빛은 점 $\mathrm B$를 통과함을 알 수 있다.
너무도 잘 알고 있는 이 성질을 이용해서 이차곡선의 광학적 성질을 설명할 수 있다. 미적분 없이 이 성질만으로 광학적 성질을 설명하려면 설명 순서가 중요한데, 여기서는 타원에 대해 설명하기로 한다. 즉, 타원의 한 초점에서 출발한 빛이 타원면에 반사되면 다른 초점을 통과함을 설명하기로 한다.
아래와 같이 초점이 $\mathrm F$, $\mathrm F'$인 타원과 그 위의 점 $\mathrm P$를 생각하자.
그러면 $\overline{\mathrm {FP}} + \overline{\mathrm{F'P}}$의 값은 타원의 장축의 길이와 같다. 이제, 점 $\mathrm P$에서 접선 $l$을 긋고 접선 위의 점 $\mathrm Q$를 다음과 같이 임의로 설정하자.
그러면 타원의 정의를 사용해서 $\overline{\mathrm {FQ}} + \overline{\mathrm{F'Q}} \geqslant \overline{\mathrm {FP}} + \overline{\mathrm {F'P}}$임을 설명할 수 있다. (Hint: 선분 $\mathrm {F'Q}$와 타원의 교점을 잡고 그 점과 $\mathrm Q$, $\mathrm F$로 이루어진 삼각형의 변 사이의 관계 및 타원의 정의롤 이용) 그러므로 점 $\mathrm P$는 앞서 설명한 두 점과 직선 위의 한 점을 연결하는 최단거리점이 된다. 따라서, 입사각 반사각 관계가 성립함을 알 수 있게 되고, 이에 따라 위 그림의 금색 선이 점 $\mathrm P$를 거쳐가는 빛의 경로라는 것을 알 수 있다.
쌍곡선과 포물선도 거의 비슷한 방법으로 설명이 가능한데, 각자 해보기로 한다.