아벨의 부등식

아벨의 부등식은 특별한 조건이 설정된 한 벡터(유한수열)와 다른 임의의 벡터(유한수열)의 내적값 범위를 표현하는 부등식이다. 인터넷을 통해 얻을 수 있는 이 부등식의 정보가 좀 부실하기도 하고, 잘못된 정보를 기록하고 있는 사이트도 있어서 이 부등식의 내용을 좀 더 구체적으로 다루고, 덧붙여서 이 부등식의 응용 하나를 예로 들려고 한다.

아벨의 부등식: 실수 + 감소하는 양수 조건

첫번째로 볼 것은 실수값을 성분으로 하는 벡터의 내적에 대한 다음 부등식이다.

실수 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$; $b_1$, $b_2$, $\cdots$, $b_n$이 있고, $b_1 \geq b_2 \geq \cdots b_n \geq 0$이라 하자. 또한, $p=1, 2, \cdots, n$에 대해 $s_p = a_1 + a_2 + \cdots + a_p$라 하고 $m = \min \{s_1, s_2 , \cdots ,s_n \}$, $M=\max \{s_1, s_2 , \cdots , s_n \}$이라 하면 다음 부등식이 성립한다. $$ mb_1 \leq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \leq Mb_1$$

이 부등식의 증명은 다음과 같이 한다.
자연수 $p \geq 2$에 대해 $a_p = s_p - s_{p-1}$이고 $a_1 = s_1$임을 이용하면 \begin{align*} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= s_1 b_1 + (s_2 -s_1)b_2 + \cdots + (s_n -s_{n-1}) b_n \\ &= s_1 (b_1 - b_2) + s_2 (b_2 -b_3) + \cdots + s_{n-1} (b_{n-1} -b_n) + s_n b_n \end{align*} 인데, $b_k$들에 대한 조건에 의해 $b_1 - b_2 \geq 0$, $b_2 - b_3 \geq 0$, $\cdots$, $b_{n-1}-b_n \geq 0$, $b_n \geq 0$이다.
또한, $M$의 정의에 따라 $s_k \leq M$($k=1,2, \cdots, n$)이므로 위 식은 다음과 같이 변형할 수 있다. \begin{align*} \sum_{k=1}^n a_k b_k &\leq M(b_1 -b_2) + M(b_2 -b_3 ) + \cdots + M(b_{n-1} -b_n ) + Mb_n \\ & = Mb_1 \end{align*} 이렇게 부등식의 오른쪽 부분이 설명된다. 왼쪽 부분도 $m$의 뜻을 사용하면 설명할 수 있다.

위 부등식의 오른편은 이렇게 증명하지 않아도, 심지어 직관적으로도 당연하다. 위와 같이 식을 변형한 것은 왼쪽 부등식을 설명하기 위해서다.

아벨의 부등식: 실수 + 감소조건

실수 $b_k$에 다음과 같이 감소조건만 반영이 되었을 때는 결과식의 모양이 약간 바뀐다. 다른 형태로도 쓸 수 있지만, 증명이 쉽기도 해서 위키피디아 버전과 비슷한 꼴로 소개한다.

실수 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$; $b_1$, $b_2$, $\cdots$, $b_n$이 있고, $b_1 \geq b_2 \geq \cdots b_n$이라 하자. 또한, $p=1, 2, \cdots, n$에 대해 $s_p = a_1 + a_2 + \cdots + a_p$라 하고 $M=\max \{ |s_1|, |s_2| , \cdots , |s_n| \}$이라 하면 다음 부등식이 성립한다. $$ \left| a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \right| \leq M (b_1 -b_n + |b_n|)$$

증명은 앞서 사용한 논리와 거의 같다. 단지, 삼각부등식이 추가로 사용될 뿐이다. \begin{align*} \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| &\leq |s_1 (b_1 - b_2) | + \cdots + |s_{n-1}(b_{n-1} - b_n)| + |s_n b_n| \\ & = |s_1| (b_1 - b_2) + \cdots + |s_{n-1}| (b_{n-1} - b_n) + |s_n| | b_n| \\ & \leq M (b_1 - b_2) + \cdots + M (b_{n-1} - b_n) + M | b_n| \\ &\leq M(b_1 -b_n +|b_n|) \end{align*}

아벨의 부등식: 복소수 버전

위에서 언급한 아벨의 부등식 증명을 보면 $a_k$들이 실수일 필요가 없다는 사실을 알 수 있다. 동일한 증명법으로 다음 결론을 얻을 수 있다.

복소수 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$과 실수 $b_1$, $b_2$, $\cdots$, $b_n$이 있고, $b_1 \geq b_2 \geq \cdots b_n$이라 하자. 또한, $p=1, 2, \cdots, n$에 대해 $s_p = a_1 + a_2 + \cdots + a_p$라 하고 $M=\max \{ |s_1|, |s_2| , \cdots , |s_n| \}$이라 하면 다음 부등식이 성립한다. $$ \left| a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \right| \leq M (b_1 -b_n + |b_n|)$$

아벨 변환

위에서 보이는 증명에서 합을 고쳐쓴 다음 식을 특별히 아벨 변환(Abel's Transformation)이라고도 한다: $$ \sum_{k=1}^n a_k b_k = s_n b_n - \sum_{k=1}^{n-1} s_k (b_{k+1} -b_k)$$ (단, $s_k = a_1 +a_2 +\cdots + a_k$)
다음 부분적분식을 보면 위 식은 부분적분의 discrete 버전임을 알 수 있다. $$ \int f \mathrm d g = fg - \int g \mathrm df $$

응용: 다항함수의 함숫값 범위

보잘것 없는 응용이지만 그냥 끝내기가 아쉬워서 한 개 첨부한다. 구간 $[0,1]$에서 정의된 실계수 다항함수 $f(x) = a_1 + a_2 x + a_3 x^2 + \cdots a_n x^{n-1}$를 생각하자. 주어진 구간에서 $1 \geq x \geq x^2 \geq \cdots \geq x^{n-1} \geq 0$이 성립하므로 위 아벨 부등식의 첫 번째 버전에 의하면 $$ \min \{ s_1, s_2, \cdots, s_n \} \leq f(x) \leq \max \{ s_1, s_2, \cdots , s_n \} $$ 임을 알 수 있다. (단, $s_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$)