데카르트는 1643년 보헤미아 왕국의 엘리자베스 공주에게 보낸 서신에서 아래 그림과 같이 서로 접하는 네 원의 반지름 사이의 관계식을 공개한다.
정리의 내용은 이러하다:
위 정리에서 접하는 원은 아무거나 되는 것은 아니고 특별히 데카르트 구조(Descartes' configuration)를 만족해야 한다. 데카르트 구조를 간단히 설명하면 네 원의 반지름이 결정되는 구조를 말한다. 즉, 아래 그림과 같은 구조는 고려하지 않는다.
원의 곡률은 원 반지름의 역수를 말하는데, 정리가 원 반지름이 아닌 곡률을 이용해서 기술되었기 때문에 곡률이 0인 경우, 즉, 직선이 개입되는 경우에도 위 정리는 유효하다. 즉, 다음과 같은 그림에서도 위 정리를 적용할 수 있다.
위 그림과 같은 경우는 $k_1 = k_2$이고 $k_3 = k_4 =0$이 된다. 두 직선이 만나는 경우는 네 원이 접하는 경우를 확장한 것으로 볼 수 없으므로 위 그림에서 두 직선이 평행이 아닌 경우는 고려할 수 없다. (특별하면서도 별 쓸모가 없는 상황이다.) 직선이 개입된 경우에는 이 그림보다는 세 원이 한 직선에 접하는 경우를 따질 때 더 유용하다.
그리고, 곡률이 음수인 경우는 아래 그림과 같이 내접하는 원들 사이의 관계를 의미한다.
위 정리는 코사인 제2법칙을 반복해서 사용하면 계산 자체는 복잡하더라도 내용은 어렵지 않은 증명을 얻어낼 수 있다. 정리가 궁금한 사람은 다음 웹페이지를 찾아가면 증명을 확인할 수 있다.
https://brilliant.org/wiki/descartes-theorem
위 정리와 증명과정을 잘 이해하면 다음과 같이 외접하는 세 원이 주어졌을 때 네 번재 원의 곡률이 $$k_4 = k_1 + k_2 + k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1}$$ 임을 알 수 있게 되어 서로 접하는 네 원을 쉽게 그려낼 수 있다.
이 정리를 처음 발견한 데카르트는 완전한 증명을 제공하지 못했다. 완전한 증명은 1826년 Jakob Steiner에 의해 이루어졌고, 부수적인 많은 사실도 알려졌다. 1886년에는 Robert Lachlan이 3차원 공간에서 서로 접하는 다섯 개의 구에 대해 위 정리가 성립한다는 사실을 발견했으며, 1937년에는 Thorold Gosset이 2차원 이상의 모든 유클리드 공간에서 비슷한 등식이 성립함을 증명했다. 즉, $n$차원 유클리드 공간에서 서로 접하는 $n+2$개의 구에 대해 다음 등식이 성립함을 증명했다. $$ k_1^2 + k_2^2 + \cdots + k_{n+2}^2 = \frac 1 n \left( k_1 + k_2 + \cdots + k_{n+2} \right)^2$$