여러 방정식 기초이론의 발견

이 글에서는 3, 4차 방정식의 해법이 알려지면서 부수적으로 알려진 방정식의 기초이론에 대해 다룬다. 시기는 대체로 1500-1800년 쯤이 된다.

1. 해의 개수

지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501-1576)

카르다노는 페로와 타르탈리아의 영향을 받아 Ars Magna라는 책을 출판했다. 1545년에 출판된 초판은 Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus이라는 이름이었는데, 한국어로 «위대한 예술(위업), 혹은 대수학의 법칙 제1권» 정도로 번역된다. 책 제목에서도 내용을 짐작할 수 있듯이, 이 책은 당시에 알려진 대수학의 내용을 총망라한 책이다. 이 책에는 카르다노, 페로의 삼차방정식의 해법이 들어있고, 제자 페라리의 4차방정식의 해법도 들어있다.

카르다노는 방정식의 해법을 설명하기 위해 편의상이었기는 하지만 복소수해를 인정했다.

카르다노는 한때 방정식의 해의 개수는 정할 수 없다고 봤었다. 하지만, 그가 3, 4차 방정식의 해를 얻어내면서 3차방정식은 3개, 4차방정식은 4개의 해를 가진다는 사실을 알아내게 된다.

알버트 지라드(Albert Girard, 1532-1632)

지라드는 L'Invention nouvelle에서 $n$차 방정식은 $n$개의 해를 가진다는 대수학의 기본정리를 처음으로 주장했다. 대칭함수를 사용해서 방정식을 연구할 수 있다는 아이디어를 생각해냈다. 이후, 대수학의 기본정리는 가우스에 의해 증명된다.

 

2. 양수해, 음수해의 개수

지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501-1576)

카르다노는 앞서 언급한 책에서 실수계수를 가지는 방정식의 복소수해는 항상 켤레로 존재해야 함을 주장했다. 증명은 나중에 뉴턴이 한다.

르네 데카르트(René Descartes, 1596-1650)

데카르트는 다음과 같은 부호법칙을 주장한다.

데카르트의 부호법칙(Descartes' rule of signs)
실수계수를 가지며 내림차순으로 정리된 다항식 $f(x)$에 대해 다음이 성립한다.

• $f(x)=0$의 양수해의 개수는 내림차순으로 계수를 읽어들일 때 계수의 부호가 바뀐 횟수보다 작거나 같다.
• $f(x)=0$의 음수해의 개수는 내림차순으로 계수를 읽어들일 때 계수의 부호가 바뀌지 않은 횟수보다 작거나 같다.

데카르트는 위 두 번째 문장은 $f(-x)=0$이라는 방정식을 통해 첫 번째 문장과 같은 말이라는 것을 알아냈지만 증명은 하지 못한다. 증명은 18세기에 여러 수학자들에 의해 이루어진다.

아이작 뉴턴(Isaac Newton, 1642-1726)

뉴턴은 데카르트의 수학을 싫어했다. 기하학의 아름다움을 대수로 더럽혔다는 것이 그 이유였다. 하지만, 그가 대학에서 강의한 내용을 엮어서 만든 Arithmetica Universalis에는 데카르트 부호법칙이 소개, 증명되어 있다. 뉴턴은 이 책의 저자로 자신의 이름을 넣지 않는다는 조건으로 출판을 허락했지만, 뉴턴이 이 책을 쓴것은 웬만한 사람들은 다 알고 있었고, 다양한 언어로 번역까지 되었다. 구글 계정이 있다면 구글북스에서 무료로 이 책을 얻을 수 있다.

장 뽈 드 구아 드 말베스(Jean Paul de Gua de Malves, 1713-1785)

데카르트의 부호법칙을 증명한 수학자 중 한 사람이다. 현재 소개되는 증명은 대부분 구아 드 말베스 버전이거나 그 변형이다. 그는 복소수해에 대해서도 간단한 결과를 추가로 발표했다.

카를 프리드리히 가우스(Johann Carl Friedrich Gauß, 1777-1855)

데카르트의 부호법칙을 좀 더 개선하여 부호변화 횟수와 양수해의 개수는 (0을 포함해서) 짝수만큼 차이가 난다는 사실을 추가로 증명했다.

 

3. 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계는 카르다노가 최초로 발견한듯 하다. 뉴턴도 강의노트 Arithmetica Universalis에서 근과 계수의 관계를 소개했고, 그레고리, 콜린스 등도 이 관계에 대해 언급을 했다. 하지만, 아무도 증명하지는 않았다.

 

4. 인수정리

다음과 같은 인수정리는 데카르트의 La Géometrie에 처음 기록되었다.

인수정리 (Factor Theorem)
다항식 $f(x)$가 $x-a$로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 $f(a)=0$이다.

 

5. 판별식

실수 계수를 가지는 이차방정식의 판별식 $D = b^2 -4ac$의 부호에 따라 근을 분류하는 것은 뉴턴의 강의노트 Arithmetica Universalis에 수록되었다.

 

6. 미정계수 도입

미지수는 아니지만 알려지지 않은 상수를 순서상 앞에 나타나는 알파벳 $a$, $b$, $c$, $\cdots$로, 미지수는 순서상 뒤에 나타나는 알파벳 $z$, $y$, $x$, $\cdots$을 사용해서 표현하기 시작한 사람은 데카르트다.