오일러는 바젤 문제부터 시작해서 다음 급수에 대한 최초의 기여를 한 수학자다. \begin{equation} \label{zeta} \sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^n} \end{equation} $n$이 짝수인 경우는 $n=2$인 바젤 문제를 풀면서 거의 동시에 해결했다고 봐도 무방하다. 간간히 여러 짝수의 합을 계산해서 발표했지만, 그 해답을 얻어내는 과정이 $n=2$일 때와 동일하다. $n$이 홀수인 경우는 해법을 찾지 못했는데, 1740년에 일부 홀수에 대해 미미한 결과를 발표한다. 오일러는 끝내 홀수에 대해서는 의미있는 결과를 얻어내지 못한다.
1755년, 오일러는 그 동안 해결해 온 짝수 지수 문제를 정리해서 다음과 같은 식을 얻어낸다. $$\sum_{k=1}^\infty \frac 1 {k^{2n}} = (-1)^{n-1} \frac {(2 \pi)^{2n}}{2 (2n)!} B_{2n}$$ 위 식의 $B_{2n}$은 베르누이 수다.
오일러가 비록 급수 (\ref{zeta})을 완전히 해결하지는 못했지만, 이 급수에 대한 빈번한 노출은 다른 복잡한 여러 문제를 해결하는 데 도움을 주었다. 여기서는 그러한 결과 중 하나로, 오일러 상수에 대해 소개한다.
오일러의 시기에도 함수의 급수표현은 빈번하게 사용됐다. 오일러는 그 중 다음과 같은 자연로그의 급수에 관심을 가졌다. $$ \ln(1+x) = x - \frac 1 2 x^2 + \frac 1 3 x^3 - \frac 1 4 x^4 + \cdots $$ 위 식의 $x$를 $\dfrac 1 x$라고 고쳐쓰면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. $$\ln \left( 1 + \frac 1 x \right) = \frac 1 x - \frac 1 {2x^2} + \frac 1 {3x^3} - \frac 1 {4x^4} + \cdots$$ 오일러는 이 식을 이용해서 조화급수의 합을 계산해 보기로 한다. 그러기 위해서 위 식의 우변 둘째항 이후를 모두 이항시켜서 다음과 같은 식을 얻는다. $$\frac 1 x = \ln \left( \frac {x+1} x \right) + \frac 1 {2x^2} - \frac 1 {3x^3} + \frac 1 {4x^4} - \cdots $$ 이제, 위 식의 $x$에 $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$을 대입하면 \begin{align*} \frac 1 1 &= \ln 2 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \frac 1 4 - \cdots \\ \frac 1 2 &= \ln \frac 3 2 + \frac 1 {2 \cdot 2^2 } - \frac 1 {3 \cdot 2^3} + \frac 1 {4 \cdot 2^4} - \cdots \\ \frac 1 3 &= \ln \frac 4 3 + \frac 1 {2 \cdot 3^2 } - \frac 1 {3 \cdot 3^3} + \frac 1 {4 \cdot 3^4} - \cdots \\ &\vdots\\ \frac 1 n &= \ln \left( \frac {n+1} n \right) + \frac 1 {2n^2} - \frac 1 {3n^3} + \frac 1 {4n^4} - \cdots \end{align*} 위 식들의 우변은 모두 수렴하는 무한급수다. 단, 첫 번째 식은 절대수렴하지 않는 교대급수이므로 항들의 순서를 바꾸면 다른 값으로 수렴한다. 오일러는 위 식의 양변을 변변 더한다. 그 과정에서 첫 식의 급수에 포함된 항의 순서를 유지하면서 다른 항들의 순서를 재배치해 다음 식을 얻어낸다. \begin{align*} \frac 1 1 + \frac 1 2 &+ \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n \\ &= \ln (n+1) \\ &\hspace{2em} + \frac 1 2 \left( 1 + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2} \right) \\ &\hspace{2em} - \frac 1 3 \left( 1 + \frac 1 {2^3} + \frac 1 {3^3} + \cdots + \frac 1 {n^3} \right) \\ &\hspace{2em} + \frac 1 4 \left( 1 + \frac 1 {2^4} + \frac 1 {3^4} + \cdots + \frac 1 {n^4} \right) \\ &\hspace{2em}- \cdots \end{align*} 그 결과로, 오일러는 조화급수의 합을 정확히는 구할 수 없더라도 다음과 같은 식을 통해 근사할 수 있음을 발견한다. $$\frac 1 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \ln(n+1) + C$$ $C$는 앞서 정리했던 급수합의 극한인데, 오일러는 이 급수가 충분히 빨리 수렴하기 때문에 위 식이 실용적으로 충분히 의미있는 식이라고 보고, $C$의 근사값이 $0.577218$이라는 결과도 얻어낸다.
현대에 와서는 오일러가 구한 $C$의 근삿값을 $\gamma$라 쓰고 오일러 상수라고 부른다. $\gamma$의 정의식은 오일러가 구한 마지막 식의 양변을 $\ln n$으로 빼서 양변에 극한을 취해 다음과 같이 쓰는 것이 일반적이다. $$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n - \ln n \right)$$ 네이피어수 $e$, 원주율 $\pi$와 달리 오일러수 $\gamma$는 유리수인지 무리수인지 아직도 알려져 있지 않으며, 이 상수를 표현하는 다른 버전의 수식이 아주 적다.