기하학에서는 특정 조건을 만족하는 반복된 작업이 프랙탈 도형을 만들어내는 경우가 많다. 이 글에서는 원과 관련해서 그렇지 않은 경우, 즉, 같은 작업을 무한히 반복할 수 없는 경우에 대해 다룬다.
우선, 아래 그림과 같이 삼각형 하나를 생각하자.
이 삼각형의 한 모퉁이에 다음과 같이 두 변과 접하는 원을 임의로 그린다.
그러고 다음 그림과 같이 방향을 설정해서 각 꼭짓점을 포함한 두 변과 전에 그린 원에 동시에 접하는 원을 그린다. 단, 이렇게 만들 수 있는 원은 두 가지가 있는데, 그 중 작은 것을 그린다.
이 작업을 다음 꼭짓점에서 계속 반복한다. 그러면 이렇게 만들어지는 여섯번째 원이 처음에 그린 원과 접하게 된다. 즉, 더이상 새로운 원이 그려지지 않는다. (그림출처: 위키피디아)
이 정리를 6-circles theorem이라고 한다. 미켈의 정리를 동일한 이름으로 부르기도 하므로 이 내용에 대해 검색할 때 주의가 필요하다.
이 정리에 대한 자세한 내용과 일반화는 다음 논문에서 얻을 수 있다.
https://arxiv.org/abs/1312.5260
1971년에는 삼각형의 세 변이 아닌 임의로 주어진 세 원에 대해 비슷한 내용을 다룬 9-circles theorem이 발표되었다. (Tyrrell, J. A. and Powell, M. T. A Theorem in Circle Geometry, Bull. London Math. Soc. 3, 70-74, 1971.)
아래와 같이 세 원 A, B, C가 주어져 있다고 하자.
앞에서 하던 것과 비슷하게 우선 B, C에 동시에 접하는 원을 그린다. 이번에는 크기나 위치가 상관이 없다.
그리고는 원 C, A와 이전에 그린 원에 접하는 원을 그리고, 다음에는 A, B와 직전에 그린 원에 접하는 원을 그리는 작업을 계속해간다. 이 작업은 정리의 이름에도 나와있듯이 (원래의 세 원을 포함해서) 9개의 원이 그려지면 더이상 새로운 원을 그릴 수 없게 된다. 아래 그림은 위 그림에서 얻어지는 결과다. (그림출처: Wolfram Mathworld)
