이 글은 자연수 거듭제곱의 차에 대한 카탈랑의 추측, 혹은 미허일레스쿠 정리에 대해 다룹니다.
1637년 제시된 페르마의 마지막 정리와 같은 문제는 수학사에서 수도없이 많이 등장했습니다. 1844년에 프랑스 수학자 카탈랑(Eugène Charles Catalan, 1814-1894)도 자연수의 거듭제곱에 대한 다음 추측을 제시합니다.
1이 아닌 자연수 $a$, $b$와 자연수 $x$, $y$가 $$x^a - y^b = 1$$ 을 만족한다면 $x=b=3$, $a=y=2$이다.
이런 형태의 식은 $x^{pq} = (x^p)^q$과 같이 볼 수 있으므로 정리의 지수는 모두 소수라고 봐도 됩니다. 이 추측은 2002년이 되어서야 루마니아의 수학자 미허일레스쿠(Preda V. Mihăilescu, 1955–)가 옳다고 증명합니다. 그래서 이 사실을 미허일레스쿠 정리라고도 부릅니다. 이 페이지에 있는 사진은 카탈랑 추측을 다룬 책으로, 표지에 방정식을 그림으로 묘사해 놓았습니다.
카탈랑의 추측은 1844년 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik라는 저널에 실렸으나 카탈랑은 위 추측을 발표하면서 “아직 완전히 증명하지는 못했다”라고 한 것 외에 이 추측의 증명에 아무런 기여를 하지 않았습니다. 이 문제의 해결은 후배 수학자들의 몫으로 남겨집니다.
많은 수학자들의 노력에도 불구하고 100년동안 이 문제에 대한 뚜렷한 해법을 찾지 못하던 중 1950년대 말에 좋은 아이디어들이 나와서 1970년대에는 컴퓨터를 활용해서 문제를 해결해보려 하게 됩니다. 컴퓨터를 통한 증명에 방향을 두었던 이 시기에는 유한번의 계산으로 문제를 해결할 수 있도록 경우의 수를 조절하는데 수학자들의 에너지가 집중되었습니다.
그러다가 2002년, 당시에는 거의 무명이었던 프레다 미허일레스쿠가 완벽한 증명을 들고 갑자기 등장하면서 이 문제는 결론을 맺습니다. 미허일레스쿠의 증명은 2004년에 발표되는데, 이 증명에는 그간의 연구방향과는 달리 계산이 거의 없었습니다.[1]
[1] Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167--195.
카탈랑의 추측이 증명되고나서 다음과 같은 새로운 추측이 제시되었습니다.
임의의 자연수 $n$에 대해 1이 아닌 자연수 $a$, $b$와 자연수 $x$, $y$가 $$x^a - y^b = n$$ 을 만족하는 경우는 유한가지밖에 없다.
이 추측은 아직 미해결이며, 사실로 증명된다면 거듭제곱수들의 간격은 숫자가 커질수록 점점 멀어진다는 설명을 할 수 있게 됩니다.