이 글은 단순 닫힌 곡선이 평면을 두 부분으로 나눈다는 조르당 곡선 정리의 역사에 대해 다룹니다.
1870년대는 수리논리가 발달하면서 유클리드 원론이 대대적 수술을 받던 시기입니다.[1] 기하학을 구성하기 위한 공리들이 새로 제시되기도 하고 무정의 용어라는 개념들도 나타나기 시작합니다. 이렇게 수학적 기초가 재설정 되는 동안, 그 기하학의 주 재료가 되는 곡선의 개념도 정의가 됩니다.
[1] Morris Kline, Mathematical Thought - From Ancient to Modern Times, Vol. 3 (1972)
1870년대에는 곡선을 방정식의 해 정도로 다뤘는데, 이렇게 되면 다룰 수 있는 곡선에 많은 제약이 생겼습니다. 수학자들에게는 다양한 곡선을 다룰 수 있는 정의가 필요했습니다. 이 정의를 조르당이 처음으로 제시합니다. 그는 Cours d'analyse de l'École Polytechnique 초판(1887) 제3권에서 연속함수 $f: [t_0, t_1] \to \mathbb R$, $g: [t_0, t_1] \to \mathbb R$로 구성된 함수 $$(f, g) : [t_0, t_1] \to \mathbb R^2, \quad (f,g)(t) = (f(t), g(t))$$ 를 curve라고 정의했습니다.[2] 그의 연구방향에 따라 $f$, $g$는 구간 $(t_0, t_1)$에서 일대일이고 $(f,g)(t_0) = (f,g)(t_1)$인 경우만을 따졌습니다. 이런 곡선을 단순 닫힌 곡선 또는 조르당 곡선이라 부릅니다.
[2] 조르당은 function of bounded variation, 곡선의 길이도 처음 정의했습니다. (http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jordan.html) 곡선의 정의는 위에 언급된 조르당의 책 2차 개정판에서는 1권에 나타납니다.
곡선의 정의가 이렇게 확장되면서 문제가 생겼습니다. 당시 수학자들은 이미 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 함수를 알고 있었습니다. 이 곡선은 어떤 곳에서도 접선을 가지지 않으므로 그래프를 상상하기도 어려웠습니다. 그래서, 조르당은 다음과 같은 사실이 증명이 되어야 한다는 것을 이해하게 됩니다.[3]
조르당 곡선에 의해 평면은 두 부분으로 나누어진다.
[3] 이 정리를 최초로 제안한 사람이 Bernard Bolzano라는 설도 있습니다만 확실하지는 않습니다.
이 정리의 한 예를 아래 그림과 같이 그려보면 당연해 보입니다.
하지만, 이 상황이 모든 조르당 곡선에 대해 적용된다는 것을 증명하는 것은 차원이 다른 문제였습니다. 조르당은 이 정리를 증명해냅니다. 하지만, 그의 증명은 Oswald Veblen에 의해 일부분 문제가 있다고 평가를 받았고, Oswald Veblen 버전의 조르당 곡선 정리 증명이 발표됩니다. 이때문에 조르당 곡선 정리는 수학사에서 한동안 Oswald Veblen에 의해 증명된 것으로 알려졌습니다.
그런데, 2007년 Thomas C. Hales가 조르당의 원래 증명을 읽다가 증명에 큰 문제가 없음을 발견합니다. 이상하게 여긴 그는 조르당의 증명이 옳지 않다고 평가하는 수학자들에게 문의를 하죠. 하지만, 아무도 조르당 증명의 어느 부분이 잘못되었는지를 답해주지 못합니다. 그는 Veblen이 문제제기한 부분도 전체 증명을 흔들 정도로 치명적인 부분이 아니라는 사실도 알아내고 디테일이 완성된 증명을 만들어냅니다.[4]
[4] Hales, Thomas (2007), Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (PDF), Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, 10 (23)