이 글은 스코들랜드의 University of St Andrews의 수학/통계학과에서 운영하는 MacTutor History of Mathematics의 글을 번역한 것입니다. 원문은 너무 문단을 많이 나눠 가독성이 떨어지므로, 제가 임의로 문단을 모았습니다. 그리고, 불확실한 지시대명사에 해당되는 내용은 약간 수정을 가했습니다. 수학사적인 사실을 단문으로 나열한 것이라 좀 재미가 없을 수 있습니다. 19세기까지의 내용을 다루었습니다.
영문원본 주소는 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/History_overview.html입니다. 혹시 번역에 문제가 있는 부분은 덧글 넣어주시면 감사하겠습니다^^
원저자는 J. J. O'Connor, E. F. Robertson입니다.
수학은 세는 것에서 시작됩니다. 하지만, 초기의 셈을 수학이라 하는 것은 합리적이지 않지요. 센 결과를 기록하고 그에 따라 숫자를 표현하는 적당한 기호가 생긴 다음에라야 수학이 시작된다고 할 수 있겠습니다.
바빌로니아에서는 기원전 2000년부터 수학이 발달했습니다. 이 지역의 수체계는 오랫동안 60진법을 사용했습니다. 그 수체계는 가능한 모든 큰 수와 분수를 표현할 수 있었으며, 강력한 수학의 발전의 기초가 되었습니다. $a^2+b^2=c^2$을 만족하는 세 수 쌍 $(a,b,c)$를 찾는 것과 같은 문제는 최소한 기원전 1700년부터 시작되었습니다. 이런 수 문제를 해결하는 와중에 일차 연립방정식에 대한 연구가 시작됐지요. 이차방정식도 일부 연구가 되었습니다. 닮음이나 넓이, 부피에 대한 기하학적 문제도 연구가 되기 시작해서 $\pi$에 해당하는 값도 얻어졌습니다.
바빌로니아의 수학적 기초는 그리스로 전달이 되었습니다. 그리스의 독자적인 수학의 발달은 기원전 450년쯤부터 시작됩니다. 제논의 파라독스는 데모크리토스의 원자설에 영향을 주었네요. 수학적 개념을 명확히하는 과정에서 임의의 길이를 재는 데 사용할 수로 유리수가 부족하다는 사실을 알게 되었습니다. 무리수를 기하학적으로 표현할 수 있게 되었고, 면적을 연구하는 과정에 특별한 적분의 한 형태를 알아냈습니다. 아폴로니우스의 원뿔곡선론은 순수수학의 끝을 보여줍니다. 천문학에 의해 더 많은 수학적 발견이 이루어지는데, 삼각법도 한 예가 되겠습니다.
그리스 수학의 황금기는 기원전 300년에서 200년까지로 보고 있습니다. 이 시기가 지난 후의 수학은 이슬람국가에서 발전이 됩니다. 특히 이란, 시리아, 인도에서 번성을 하는데요, 그리스에서 발전시킨 것과는 좀 양상이 다른 방향으로 발전합니다. 하지만, 이 지역에서 그리스 수학은 보존이 되었습니다. 대략 11세기부터 Adelard of Bath와 피보나치에 의해 이슬람의 수학과 그간 그들이 보존해 두었던 그리스 수학은 다시 유럽으로 돌아옵니다.
16세기에 들어서면서 유럽의 수학은 Pacioli가 기존의 수학을 대부분 정리한 책을 저술하면서 다시금 큰 발전을 이룹니다. 그러고 Cardan, Tartaglia, Ferrari에 의해 3차, 4차 방정식의 해법이 완성이 되지요. 코페르니쿠스와 갈릴레이는 수학을 이용해 우주를 연구하는 혁명적인 일을 해냅니다. 이러한 대수적인 발전은 수학 연구의 붐을 이루어서 이탈리아에서 벨기에(Stevin)로, 프랑스(Viete)로 연구의 열정은 퍼져나갑니다.
17세기에 네이피어와 Briggs 등에 의해 로그가 발견되면서 계산과학으로의 수학이 급격히 확장됩니다. Cavalieri는 그가 만든 infinitesimal method로 미적분학에 한 발짝 다가갑니다. 데카르트는 기하학에 대수학의 힘을 더해주었지요. 파스칼과 페르마는 확률론을 연구하면서 더더욱 미적분학에 가까이 갑니다. 어쨌거나 17세기에 가장 많이 발전한 분야는 미적분학이네요.
뉴튼은 그의 스승이었던 Barrow를 비롯한 선대의 많은 수학자들의 업적 위에서 미적분학을 자연을 연구하는 하나의 툴로 발전시킵니다. 그의 연구에는 수학, 물리학, 천문학 사이의 상호작용에 대한 많은 새로운 발견이 들어있습니다. 뉴튼의 중력이론과 빛의 이론을 거치면 18세기로 진입하게 됩니다.
하지만, 라이프니츠에 대해서도 언급은 해야겠네요. 그는 (여전히 완벽하지는 않지만) 미적분학에 대해 뉴튼보다 훨씬 더 엄밀한 접근을 했습니다. 그는 베르누이가의 여러 수학자에게 영향을 미쳤는데요, 덕분에 미적분학은 더 견고해지고 수많은 곳에 응용이 되었습니다.
18세기의 가장 중요한 수학자는 오일러입니다. 그는 여러 가지 분야를 연구하기도 했지만, 변분법(calculus of variations)과 미분기하라는 중요한 수학 영역을 만들었습니다. 또한 페르마부터 시작된 정수론에서도 발전을 이루어냅니다.
18세기가 끝나갈 무렵, 라그랑쥬는 함수론과 역학에서의 엄밀한 이론을 만들기 시작합니다. 다음 세기로 넘어갈 무렵, 라플라스의 행성간 역학에서의 위대한 결과를 얻습니다. Monge와 Carnot의 공리적 기하에도 중요한 발전이 있었습니다.
19세기는 수학계에 급격한 변화가 있게 됩니다. 푸리에의 열에 관한 연구는 아주 중요하고요, 기하학에서는 Plüker가 해석기하학에, Steiner가 공리 기하의 기초를 다지는 연구를 했습니다. 로바체프스키와 볼리야이에 의해 개발된 비유클리드 기하는 리만이 기하학을 분류하는 데 영향을 주었고, 역사상 최고의 수학자라는 가우스는 이차상호법칙(Quadratic reciprocity)과 정수 합동식을 연구했습니다. 그가 이룬 미분기하의 결과는 혁명적이었습니다. 천문학과 자기력에서도 그의 결과는 연구법에 변화를 줄 정도로 중요한 것이었습니다. 또한, 갈로아는 방정식에 대한 연구와 수학의 기본 operation에 대한 통찰을 보여주었습니다. 갈로아는 Group을 도입을 했는데, 이는 20세기 수학까지도 영향을 주게 된 수학 연구의 새로운 길을 터주었습니다. 코시는 라그랑지의 함수에 대한 연구를 토대로 삼아 해석학에 엄밀성을 부여하기 시작했고, 복소수 함수론의 연구를 시작합니다. 이 연구는 바이어스트라스와 리만에 의해 계승됩니다. 해밀톤과 그라스만이 연구했던 행렬과 선형대수의 연구를 케일리가 보강하면서 대수 기하학도 발전을 합니다. 19세기를 마감할 무렵에는 칸토르가 거의 천재적으로 집합론을 발명하게 됩니다. 그리고, 그의 수에 대한 개념은 데데킨트와 바이어스트라스가 무리수에 대한 연구를 보태면서 보강이 됩니다. 수리물리학과 천문학에서의 필요로 해석학이 등장합니다. 리(Lie)의 미분방정식에 대한 연구는 topological group과 미분위상(differential topology)이라는 분야의 연구를 이끌어냅니다. 맥스웰은 수리물리에서 해석학의 응용에 공이 있고, 통계역학은 맥스웰, 볼츠만, 깁스에 의해 발전이 되어 ergodic theory를 이끌어냅니다. electrostatics와 potential theory에 의해 적분방정식에 대한 연구가 시작이 되고, Fredholm의 연구에는 힐버트에 영향을 주어 함수해석학이 개발됩니다.